trójkąty

Opracowała:
Teresa GĘBICKA
TRÓJKĄT
wielokąt o 3 bokach
Trójkąt ABC -  ABC posiada:
wierzchołki: A, B, C;
boki: AB=a, BC=b, CA=c;
kąty: CAB=a, ABC= b, ACB= g
C
Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą
g
c
A
a
od sumy długości dwóch pozostałych ,
ale większą od ich różnicy .
b
a
b
B
a<b+c i
a> b-c
b<a+c i
c<a+b i
b> a-c
c> a-b
Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty
g
a
g
b
Trójkąt ostrokątnywszystkie kąty ostre
a <90 o
b <90 o
g <90 o
a
g
b
Trójkąt prostokątnyjeden kąt prosty
a =90 o
b <90 o
g <90 o
a
b
Trójkąt rozwartokątnyjeden kąt rozwarty
90 o < a <180
b <90 o
g <90 o
o
Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki
a
c
b
a
Trójkąt różnoboczny każdy bok ma inną długość
a=b=c
Kąty mają różne miary
b
b
a
a
a
a
a
Trójkąt równoramiennyprzynajmniej dwa
boki tej samej długości
a - podstawa trójkąta
b - ramiona trójkąta
Kąty przy podstawie
mają taką samą miarę
a
a
a
Trójkąt równobocznywszystkie boki
są tej samej długości
Wszystkie kąty
mają taką samą miarę
a = 60 o
TWIERDZENIE:
Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°.
a + b + g = 180
k
a
a
A
DOWÓD:
C
g
Rysujemy pomocniczą prostą k
równoległą do boku AB,
przechodzącą przez wierzchołek C.
b
a=a
b=b
b
są to kąty
naprzemianległe
B
zatem a + b + g = a+ b +g.
Ponieważ a+b+g = 180, więc również a + b + g = 180.
zadanie
Kąty zewnętrzne trójkąta
Kątem zewnętrznym w trójkącie nazywamy,
kąt przyległy do kąta wewnętrznego.
Kąt zewnętrzny trójkąta,
to kąt utworzony przez jeden bok trójkąta
i przedłużenie. drugiego boku.
Kąt zewnętrzny trójkąta
jest równy sumie 2 kątów wewnętrznych
do niego nieprzyległych.
x = b + g
y = a + g
z = a + b
x
x
Kąt zewnętrzny x,
przylega do kąta wewnętrznego a
z
a
g
z
b
y
y
Suma kątów zewnętrznych wynosi 720o
zadanie
Wysokości w trójkącie
h1, h2, h3- wysokości trójkąta
Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony
prostopadle z wierzchołka do przeciwległego boku lub jego przedłużenia.
W każdym trójkącie można poprowadzić 3 wysokości,
które przecinają się w jednym punkcie.
h1
h1
h2
h1
.
h3
.O
.
.
h2
.
.
.
h2
.
O.
h3
W trójkącie prostokątnym,
punkt przecięcia się wysokości
h3
.O
leży w wierzchołku kąta prostego.
W trójkącie ostrokątnym,
punkt przecięcia się wysokości
W trójkącie rozwartokątnym,
punkt przecięcia się wysokości
leży wewnątrz trójkąta.
leży na zewnątrz trójkąta.
Dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie
Dwusieczną kąta nazywamy półprostą,
która dzieli kąt, na dwa kąty przystające.
a
dwusieczna kąta
b
ab
Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają
się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu
wpisanego w ten trójkąt .
C
Każdy bok trójkąta jest styczny do okręgu.
. r
O
A
Trójkąt jest opisany na okręgu,
a okrąg wpisany jest w trójkąt.
B
zadanie
k
Symetralne boków trójkąta
.
A
.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła,
dzieląca odcinek na dwie równe części
inaczej: oś symetrii odcinka, która jest do niego prostopadła.
.
B
Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie,
który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
C
Każdy wierzchołek trójkąta leży na okręgu.
Okrąg jest opisany na trójkącie.
Trójkąt jest wpisany w okrąg.
r
A
.O
B
symetralna boku AB
symetralna boku BC
symetralna boku AC
C
Środkowa trójkąta
środkowa
Środkową trójkąta nazywamy odcinek
łączący wierzchołek trójkąta
ze środkiem przeciwległego boku.
E
A
1
S
D
.
D
B
W trójkącie możemy poprowadzić 3 środkowe.
Przecinają się one w jednym punkcie,
który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta.
C
4
A
F
B
Punkt S jest punktem przecięcia się środkowych.
Punkt S dzieli każdą ze środkowych w stosunku 1:2
SD =
1
2
SC czyli SD =
1
3
CD
Odcinki łączące środki boków są równoległe do przeciwległych boków
i równe są ich połowie
1
EF AB
i EF =
AB
2
Jeżeli w trójkącie połączymy odcinkami środki jego boków,
to otrzymamy 4 takie same (przystające) trójkąty.
Cechy przystawania trójkątów
c
g
a
f
a1
b
b
g1
e
b2
d
a
I cecha przystawania trójkątów (b b b)
Jeżeli 3 boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta,
to trójkąty są przystające:
a=d
b=e
c = f.
II cecha przystawania trójkątów (b k b)
Jeżeli 2 boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta, są odpowiednio równe
dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu w drugim trójkącie,
to trójkąty są przystające.
a = d
c = f
a = a1
III cecha przystawania trójkątów (k b k)
Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta, są odpowiednio równe
bokowi i 2 kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.
b = e
b = b1
g = g1
Cechy podobieństwa trójkątów
g1
c
a
g
b
c1
b
a1
a
b1
b1
a1
I cecha podobieństwa trójkątów
Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta,
to trójkąty są podobne:
a1 b1 c1
a= b= c
II cecha podobieństwa trójkątów
Jeżeli miary 2 kątów jednego trójkąta, są równe miarom 2 kątów drugiego trójkąta
to trójkąty są podobne.
a = a1 b = b 1
III cecha podobieństwa trójkątów
Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta,
a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.
a1 b1
=
a
b
b = b1
Ob - obwód
Pole i obwód trójkąta
dowolny trójkąt
c
h
b
trójkąt równoramienny
Ob = a + b + c
P =
1
2
Ob = a +2 b
b
a.h
a
a
a
h= a
h
P =
1
2
a.h
trójkąt prostokątny
Ob = 3a
P =
1
2
b
a .h
Wysokość w trójkącie równobocznym wynosi:
3
2
b
a
trójkąt równoboczny
a h
P - pole
wtedy pole obliczamy:
P=
3 2
a
4
c
a
Ob = a+b+c
P =
1
2
a.b
Zadanie 1.
Znajdź miary kąta x w trójkątach:
c)
a)
32º
40º
x
b)
2x
3x
x
x
70º
x
rozwiązanie
Zadanie 2
Rozwiązanie
Przy obliczeniach wykorzystujemy twierdzenie,
że suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180º
a)
40º+x+32º=180º
x+72º=180º
x=180º-72º
x=108º
c)
b)
x+2x+3x=180º
6x=180º
x=30º
x + x + 70º = 180º
2x = 180º - 70º
2x = 110º
x = 55º
Zadanie 2.
Znajdź kąty x i y.
b)
B
a)
A
B
30
95
D
O
y
O
50
C
AB CD
y
40
A
20
x
D
.
x
C
Zadanie 3.
Znajdź miary kątów zewnętrznych x i y.
105
x
a
31
y
rozwiązanie
Rozwiązanie
Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180°,
to brakujący kąt wewnętrzny trójkąta ma miarę :
a = 180°- 105° - 31º = 44° .
Kąt x jest kątem przyległym do kąta a.
Suma kątów przyległych wynosi 180°, więc:
x + a = 180º
x + 44º =180º
x=180º - 44º
x=136º
Kąt y jest kątem przyległym do kąta 31º , więc:
y + 31º = 180º
y=180º - 31º
y = 149º
Odpowiedź: Kąty zewnętrzne trójkąta mają miary odpowiednio równe
x=136º i y=149º.
Zadanie 4.
Dany jest trójkąt o kątach przy podstawie 70º i 80º
a) wyznacz kąt pod jakim przecinają się
dwusieczne tych kątów;
b) wyznacz kąt , pod jakim przecinają się wysokości
poprowadzone z wierzchołków tych kątów.
Uwaga. Podając kąt, pod jakim przecinają się proste nieprostopadłe, będziemy
podawać kąt ostry.
rozwiązanie
Rozwiązanie
C
b)
C
a)
D .
x a
y
A
80º a
x
80º 40º
A
35º
70º
Obliczamy kąt a:
40º+ a + 35º = 180º
a +75º = 180º
a = 180º - 75º
a = 105º
Obliczamy kąt między dwusiecznymi:
x+ a =180º
x = 180º- a
x = 180º- 105º
x = 75º
O
g
.
F
x
b
70º
B
z  ABF obliczamy kąt a
70º+90º+a = 180º
B
160º+a=180º
a=20º
z  ABD obliczamy kąt b
80º+90º+b=180º
170º+b=180º
Z  ABO obliczamy kąt g
b=10º
a + b + g = 180º
20º+10º+ g =180º
g=150º
Kąt x przylega to kąta g, więc
g + x = 180º
x= 180º-150º
x=30º
Odp.: Dwusieczne przecinają się pod kątem 75º, a wysokości 30º.