Pierwsza lista zadań z Algebry 2 Zad.1. Napisać macierze przejścia

Pierwsza lista zadań z Algebry 2
Zad.1.
Napisać macierze przejścia z bazy B do bazy B 0 odpowiedniej przestrzeni liniowej:
a) V = R3 , B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, B 0 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ;
b) V = R2 [x], B = {x2 , x, 1} , B 0 = {3x2 − x, 2x2 + x − 1, x2 + 5x − 6} .
Zad.2.
Wykorzystując macierze przejścia z baz standardowych odpowiednich przestrzeni liniowych do baz
danych, znaleźć współrzędne podanych wektorów w tych bazach:
a) V = R2 , ~v = (1, 1), B 0 = {(4, 1), (−2, 3)} ;
b) V = R3 , ~v = (2, −4, 7), B 0 = {(1, −2, 3), (2, 1, 4), (−3, 1, −6)} ;
c) V = R3 [x], p~ = 2x3 − x2 + 1, B 0 = {2x3 + 3x2 + 2x + 1, 2x3 + x + 1, x2 + 2x + 1, 2x2 + x + 1} .
Zad.3.
o
n
Wektor ~v ma w bazie ~b1 , ~b2 , ~b3 współrzędne [0, 1, −2]. Stosując macierz przejścia z bazy do bazy
obliczyć
współrzędne tego wektora
wnbazie:
n
o
o
~
~
~
~
~
~
a) b1 + b2 , b2 + b3 , b1 + b3 ; b) 2~b1 + ~b2 − 3~b3 , 3~b1 + 2~b2 − 5~b3 , ~b1 − ~b2 + ~b3 .
Zad.4.
Zbadać diagonalizowalność macierzy:
"
#
"
#
8 2
0 4
a)
;
b)
;
1 7
−1 0


"
c)


#
1 −1
0
1
;


−1
0
0
4
1 −5
0 0 1





6
−4
−6
−2
−1
2
d) 
;
e)
;
f
)




 1 0 0 .
−6
3
5
3
1 −4
0 1 0
Zad.5.


Zbadać istnienie rzeczywistej macierzy diagonalizującej macierz A = 


0
0
0 α
−1 −2
0 0
0
2 −2 1
0
1
0 0



,

jeżeli:
a) α = −3; b) α = −1; c) α = 0.
Zad.6.






1
−3
7





Wektory ~v1 =  −2 , ~v2 =  0 , ~v3 =  1 
, są wektorami własnymi macierzy kwadratowej A
2
1
0
stopnia 3, odpowiadającymi kolejno wartościom własnym λ1 = −1, λ2 = −3, λ3 = 2. Wyznaczyć
macierz A−1 (nie obliczając macierzy A).
Zad.7.
Wyznaczyć macierze diagonalizujące i n-te potęgi macierzy:
"
a)
0 −2
−2
1
#
"
; b)
3 −4
2 −3

#
;



−4 0 0
1 1 1



c) 
 0 2 3  ; d)  1 1 1  .
0 3 2
1 1 1
Zad.8.
Wykazać, że jeżeli macierz A jest diagonalizowalna, to również każda jej potęga jest diagonalizowalna.
Zad.9.
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne. Udowodnić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w przypadku macierzy diagonalizowalnych.
Czwarta lista zadań z Algebry 2
Zad.1. Zbadaj łączność działania 2 określonego w zbiorze X, jeżeli:
a) X = N, a2b = ab ;
a) X = N, a2b = 2ab;
2
2
c) X = Z, a2b = a + b ; d) X = Z, a2b = a − b;
a+b
e) X = R, a2b =
;
f ) X = R, a2b = a + b + 1.
2
Zad.2.
Zbadaj, czy podana struktura algebraiczna jest grupą:
a) (N, +);
n √
o
√
b) (X, +), gdzie X = a 2 + b 3 : a, b ∈ Q ;
c) (R, 2), gdzie a2b = a + b + 3;
d) (R, ∗), gdzie a ∗ b = a + b + 2b.
Zad.3. Sprawdź, czy zbiór macierzy


1 0 0


 0 1 0 ,
0 0 1


0 0 1


 1 0 0 ,
0 1 0


0 1 0


 0 0 1 
1 0 0
stanowi grupę względem mnożenia macierzy.
Zad.4. Niech F = {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 }, gdzie
f1 (x) = x, f2 (x) = 1 − x, f3 (x) =
1
1
1
x
, f4 (x) = 1 − , f5 =
, f6 (x) =
x
x
1−x
x−1
oraz niech ◦ oznacza składanie funkcji. Pokaż, że struktura algebraiczna (F, ◦) jest grupą. Czy jest grupą
abelową?
Zad.6. Niech (X, ∗) będzie grupą i niech e będzie w niej elementem neutralnym. Wykaż, że
−1
a) e−1 = e;
b) a−1
c) (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 ;
e) równanie a ∗ x = b ma jedno rozwiązanie;
d) a ∗ a = a ⇐⇒ a = e;
f ) równanie x ∗ a = b ma jedno rozwiązanie.
=a
Zad.7. W grupie (Zn , +n ) rozwiązać równanie:
a) 6x = 5, n = 7; b) 13x + 7 = 9, n = 17.
Zad.8. W zbiorze dwuelementowym X = {a, b} wprowadzamy działania ∗, ◦ określone tabliczkami
Cayely’a:
◦ a b
∗ a b
a a a .
a a b
b a b
b b a
Sprawdzić, czy w X:
a) działania ∗, ◦ są przemienne, łączne, rozdzielne jedno względem drugiego;
b) istnieją względem działań ∗, ◦ elementy neutralne;
c) istnieją dla elementów zbioru X elementy odwrotne względem działań ∗, ◦.
Zad.9. Zbadać czy struktura algebraiczna (R, ◦, ∗) jest pierścieniem, jeżeli:
a) a ◦ b = a + b − 5, a ∗ b = ab + 3; b) a ◦ b = a + b + ab, a ∗ b = a2 b + ab + 2b.
Zad.10. W zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich wprowadzić działanie dwuargumentowe ◦ tak, aby
zbiór ten ze zwykłym działaniem mnożenia jako dodawaniem oraz działaniem ◦ jako mnożeniem stanowił
pierścień.
Niech F będzie zbiorem funkcji rzeczywistych f określonych na przedziale [0, 1] Sprawdzić, czy zbiór
(X, +, ·) jest pierścieniem, jeżeli:
1
a) X = f ∈ F : f
=0 ;
2
b) X = {f ∈ F : f (0) = f (1)} .
Zad.11. Zbadać czy struktura algebraiczna (X, +, ·) jest ciałem, jeżeli:
a) X = {0, 1};
b) X = {−1, 0, 1};
n
o
n
o
√
√
3
c) X = a + b 2 : a, b ∈ Q ; d) X = a + b 2 : a, b ∈ Q ; e) X = {z ∈ C : |z| ¬ 1} .
Zad.12. W zbiorze dwuelementowym X = {a, b} wprowadzamy działania ∗, ◦ określone tabliczkami
Cayely’a:
◦ a b
∗ a b
a a a .
a a b
b a b
b b a
Sprawdzić czy struktura (X, ∗, ◦) jest ciałem. Rozwiązać równanie a ◦ (x ∗ (b ◦ a)) = (a ◦ b) ∗ a.
Zad.13. Sprawdzić czy zbiór macierzy
("
#
)
("
#
)
x y
x y
a)
, x, y ∈ R ;
b)
, x, y ∈ R
2y x
−y x
z działaniami dodawania i mnożenia macierzy jest ciałem.
Zad.14. Pokazać, że zbiór X = {(a, b) : a, b ∈ Q} z działaniami ⊕ i ⊗ określonymi wzorami
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
tworzy ciało.
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc)