final_gim_X

DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE
EDYCJA X – ROK SZKOLNY 2010/11
GIMNAZJA – WIELKI FINAŁ
1. Rozwiąż nierówność:
4 x  4  x 2  x 2011  2011 .
2. Ile liczb sześciocyfrowych, które możemy utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 i 7 (niekoniecznie użytych
wszystkich na raz), jest podzielnych przez 11?
3. Dla danego trójkąta środki jego boków są wyznaczone jednoznacznie. Czy jest na odwrót?
4. Niech an będzie liczbą zapisaną w systemie dziesiętnym za pomocą n jedynek. Ile razy cyfra 1
występuje w wyniku dodawania a1+a2+a3+...+a100?
5. Czy suma kolejnych 46 liczb naturalnych może być podzielna przez 46?
6. Wyspa Pytaczy wzięła swoją nazwę stąd, że jej mieszkańcy nigdy nie wygłaszają twierdzeń tylko
pytają. Zadają tylko takie pytania, na które można odpowiedzieć „tak” lub „nie”. Wśród
mieszkańców wyróżnia się dwa typy: mieszkańcy typu A zadają tylko pytania, na które trzeba
odpowiedzieć „tak”, żeby odpowiedzieć właściwie, a mieszkańcy typu B zadają wyłącznie pytania,
na które trzeba odpowiedzieć „nie”, by odpowiedzieć właściwie. Spotykamy tubylca, który pyta:
„Czy ja należę do typu B?” Co można o nim wywnioskować?
7. Czy liczby n!+1 oraz (n!+1)!+1 są zawsze względnie pierwsze dla nN?
8. Pewna wyspa ma kształt trójkąta. Który jej punkt jest położony najdalej od morza?
9. Kwadrat rozcięto na 52 kwadraty z czego 51 ma pole 1. Jakie było pole wyjściowego kwadratu?
10. Jakie wartości przyjmują wyrazy ciągu an = NWD(16n-1, n+1)?
11. Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie [x] + [2x] =[3x], gdzie [a] oznacza część całkowitą
liczby a (czyli największa liczbę całkowitą nieprzekraczającą a).
12. Rozwiąż kryptarytm. Różne litery oznaczają różne cyfry i na odwrót.
COS INUS
S INUS
+ S INUS
TANGENS