Podzielność w pierścieniu 〈Z,+,ˇ〉 liczb całkowitych. Liczby pierwsze.

Algebra
LISTA 1: Podzielność w pierścieniu hZ, +, ·i liczb całkowitych.
Liczby pierwsze.
(Aksjomat indukcji) Dla dowolnego zbioru A ⊂ N, jeśli 0 ∈ A oraz dla
każdej liczby naturalnej n, zachodzi implikacja
(n ∈ A → n + 1 ∈ A),
to N = A.
Twierdzenie 1.
Akjomat indukcji pocia̧ga za soba̧ każde z nastȩpuja̧cych stwierdzeń:
Zasada Minimum: Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych
ma element najmniejszy.
Zasada Maksimum: Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru
liczb naturalnych ma element najwiȩkszy.
Zad.1. Udowodnić Twierdzenie 1.
Zad.2. Wskazać bła̧d w podanym poniżej "dowodzie".
"Twierdzenie" Dla każdego n ≥ 0 zachodzi nierówność 30n < 2n + 110.
"Dowód": Załóżmy, że 30n < 2n + 110. Wtedy
30(n + 1) = 30n + 30 < 2n + 110 + 30 < 2n+1 + 110,
gdzie ostatnia nierówność zachodzi, o ile n ≥ 5. Dla n = 0, 1, 2, 3, 4 sprawdzamy
bezpośrednio. Tym samym nierówność zachodzi dla wszystkich n ≥ 0.
Zad.3. Stosuja̧c indukcjȩ matematyczna̧, udowodnić, że jeśli iloczyn dodatnich liczb a1 , a2 , . . . , an wynosi 1, to a1 + a2 + . . . + an ≥ n.
Twierdzenie 2. Dla każdej liczby całkowitej a i każdej liczby całkowitej
b > 0 istnieja̧ liczby całkowite q, r 1 takie, że a = q · b + r oraz 0 ≤ r < b.
Twierdzenie 3. Jeśli a, b ∈ Z i a lub b 6= 0, to istnieja̧ s, t ∈ Z takie, że
N W D(a, b) = a · s + b · t.
Wniosek. Każdy wspólny dzielnik liczb a i b jest dzielnikiem N W D(a, b).
1
iloraz i reszta
1
Zad.4. Wykorzystuja̧c algorytm Euklidesa, dla podanych par liczb x, y
znaleźć N W D(x, y) oraz współczynniki całkowite s, t, dla których zachodzi
N W D(x, y) = s · x + t · y:
(a) x = 26, y = 39; (b) x = 7, y = 3.
Oznaczenie: (a, b) := N W D(a, b).
Definicja. Liczba naturalna p 6= 1 nazywa siȩ liczba̧ pierwsza̧, jeśli p
nie ma dzielników naturalnych poza {1, p}.
Liczby a, b ∈ Z takie, że a lub b 6= 0, nazywaja̧ siȩ wzglȩdnie pierwszymi, jeśli (a, b) = 1.
Uwaga. Liczby a i b sa̧ wzglȩdnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieja̧ s, t ∈ Z takie, że 1 = a · s + b · t.
Zad.5. Pokazać, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c spełniaja̧cych
(a, b) = 1, zachodza̧ nastȩpuja̧ce stwierdzenia
(a) a|bc, to a|c.
(b) a|c i b|c, to ab|c.
Zad.6. Pokazać, że jeśli p 6= 1 jest liczba̧ pierwsza̧, to dla dowolnych
liczb a, b, jeśli p|(a · b), to p|a lub p|b.
Twierdzenie 4. (Rozkład liczb całkowitych na czynniki pierwsze.)
(a) Każda̧ liczbȩ naturalna̧ n > 1 można przedstawić w postaci iloczynu
liczb pierwszych.
(b) Każda̧ liczbȩ naturalna̧ n > 1 można przedstawić w postaci iloczynu
(∗) n = pα1 1 · pα2 2 · . . . · pαs s , gdzie p1 < p2 < . . . < pn jest rosna̧cym cia̧giem
liczb pierwszych, w dokładnie jeden sposób.
Zad.7. Niech n = pr11 · ... · prkk i m = ps11 · ... · pskk , gdzie ri , si ∈ {0, 1, 2, ...},
i ≤ k. Niech ai = min(ri , si ), bi = max(ri , si ), i ≤ k.
Udowodnić: N W D(n, m) = pa11 · ... · pakk i N W W (n, m) = pb11 · ... · pbkk .
n
Dla każdej liczby naturalnej n, definiujemy liczbȩ Fn = 22 + 1, która̧
nazywamy n-ta̧ liczba̧ Fermata.
Zad.8. (a) Pokazać, że jeśli n 6= k, to liczby Fn i Fk sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
(b) pokazać, że jeśli liczba 2m + 1 jest pierwsza, to jest liczba̧ Fermata.
Zad.9. Stosuja̧c liczby Fermata udowodnić, że zbiór liczb pierwszych jest
nieskończony.
2
Zad.10. Stosuja̧c poniższe twierdzenie udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które nie sa̧ sumami dwóch liczb pierwszych.
Twierdzenie (Lejeune-Dirichlet) Jeśli N W D(a, b) = 1, to w
postȩpie arytmetycznym (a + k · b)k∈N jest nieskończenie wiele
liczb pierwszych.
Zad.11. Pokazać, że poniższa hipoteza (II) implikuje hipotezy (I) i (III).
Hipoteza Goldbacha (1742) (I) Każda liczba naturalna wiȩksza
niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych.
(II) Każda liczba parzysta wiȩksza niż 2 może być przedstawiona
jako suma dwóch liczb pierwszych.
(III) (słaba) Każda liczba nieparzysta wiȩksza od 7 jest suma̧
trzech nieparzystych liczb pierwszych.
Zad.12. (a) Pokazać, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b prawdziwa
jest równość a · b = N W D(a, b) · N W W (a, b).
(b) Wskazać przykład liczb całkowitych a, b, c, dla których prawdziwa jest
nierówność a · b · c 6= N W D(a, b, c) · N W W (a, b, c).
(c) Pokazać, że jeśli liczby calkowite a, b, c sa̧ parami wzglȩdnie pierwsze, to
zachodzi równość a · b · c = N W D(a, b, c) · N W W (a, b, c).
Zad.13. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje wiȩksza
od niej liczba pierwsza postaci: (a) 4k + 3
(b) 6k + 5.
3