Ekonometria - Model nieliniowe i funkcja produkcji

Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Ekonometria
Model nieliniowe i funkcja produkcji
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
1 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Agenda
1
Modele nieliniowe
2
Wybrane funkcje nieliniowe
3
Funkcja produkcji
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
2 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Agenda
1
Modele nieliniowe
2
Wybrane funkcje nieliniowe
3
Funkcja produkcji
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
2 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Agenda
1
Modele nieliniowe
2
Wybrane funkcje nieliniowe
3
Funkcja produkcji
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
2 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Outline
1
Modele nieliniowe
2
Wybrane funkcje nieliniowe
3
Funkcja produkcji
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
3 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Modele nieliniowe
Ogólna postać:
y = g (β, x) + ε
(1)
gdzie y to zmienna objaśniana,
β to wektor parametrów strukturalnych,
x to wektor zmiennych objaśniających,
ε to składnik losowy.
Szczególne przypadki:
Modele liniowe względem parametrów
y = β0 + β1 f1 (x1 ) + . . . + βk fk (xk ) + ε
Modele liniowe względem zmiennych
Przykład:
y = β0 + β1 β2 x1 + β3β4 x2 + ε
(2)
(3)
Problem identyfikacji strukturalnych parametrów.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
4 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Modele nieliniowe
Ogólna postać:
y = g (β, x) + ε
(1)
gdzie y to zmienna objaśniana,
β to wektor parametrów strukturalnych,
x to wektor zmiennych objaśniających,
ε to składnik losowy.
Szczególne przypadki:
Modele liniowe względem parametrów
y = β0 + β1 f1 (x1 ) + . . . + βk fk (xk ) + ε
Modele liniowe względem zmiennych
Przykład:
y = β0 + β1 β2 x1 + β3β4 x2 + ε
(2)
(3)
Problem identyfikacji strukturalnych parametrów.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
4 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Modele nieliniowe
Przykłady modeli nieliniowych względem zmiennych, ale liniowych
względem parametrów:
Model wielomianowy:
y = β0 + β1 x1 + β2 x12 + . . . + βk x1k + ε.
(4)
Model hiperboliczny:
y = β0 +
β2
+ ε.
x1
(5)
Model logarytmiczny:
y = β0 + β1 ln (x1 ) + ε.
(6)
Model z interakcjami (iloczynami):
y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x1 x2 + ε.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(7)
5 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Efekty krańcowe oraz elastyczności cząstkowe
Efekt krańcowy
∂y
.
∂xi
Interpretacja: o ile wzrośnie y jeżeli xi wzrośnie o jedną jednostkę.
Model liniowy: stały efekt krańcowy równy βi .
Efekt krańcowy =
(8)
Elastyczność cząstkowa
Elastyczność cząstkowa =
∂y/y
.
∂xi /x
(9)
Interpretacja: o ile % wzrośnie y jeżeli xi wzrośnie o 1%.
Model liniowy: elastyczność cząstkowa zależna od bieżacych wartości x i
y i równa βi xi /y
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
6 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeli
Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.
Wybrane własności logarytmu naturalnego
ln(x) < ln(y)
dla 0 < x < y,
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
dla x, y > 0,
ln(x a ) = a ln(x)
dla x, a > 0,
ln(ex ) = x
oraz
eln(x) = x
dla x > 0.
Model wykładniczy:
y = e β0 +β1 x1 +...+βk xk +ε.
Po obustronnym zlogarytmowaniu:
ln (y) = β0 + β1 x1 + . . . + βk xk + ε.
Model funkcji Cobba-Douglasa:
β
y = β0 x1β1 · . . . · xk k ε.
Po obustronnym zlogarytmowaniu:
ln (y) = ln (β0 ) + β1 ln (x1 ) + . . . + βk ln (xk ) + ln (ε) .
(10)
(11)
(12)
(13)
Uwaga: założenie ln (ε) ∼ N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
7 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeli
Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.
Wybrane własności logarytmu naturalnego
ln(x) < ln(y)
dla 0 < x < y,
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
dla x, y > 0,
ln(x a ) = a ln(x)
dla x, a > 0,
ln(ex ) = x
oraz
eln(x) = x
dla x > 0.
Model wykładniczy:
y = e β0 +β1 x1 +...+βk xk +ε.
Po obustronnym zlogarytmowaniu:
ln (y) = β0 + β1 x1 + . . . + βk xk + ε.
Model funkcji Cobba-Douglasa:
β
y = β0 x1β1 · . . . · xk k ε.
Po obustronnym zlogarytmowaniu:
ln (y) = ln (β0 ) + β1 ln (x1 ) + . . . + βk ln (xk ) + ln (ε) .
(10)
(11)
(12)
(13)
Uwaga: założenie ln (ε) ∼ N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
7 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeli
Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.
Wybrane własności logarytmu naturalnego
ln(x) < ln(y)
dla 0 < x < y,
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
dla x, y > 0,
ln(x a ) = a ln(x)
dla x, a > 0,
ln(ex ) = x
oraz
eln(x) = x
dla x > 0.
Model wykładniczy:
y = e β0 +β1 x1 +...+βk xk +ε.
Po obustronnym zlogarytmowaniu:
ln (y) = β0 + β1 x1 + . . . + βk xk + ε.
Model funkcji Cobba-Douglasa:
β
y = β0 x1β1 · . . . · xk k ε.
Po obustronnym zlogarytmowaniu:
ln (y) = ln (β0 ) + β1 ln (x1 ) + . . . + βk ln (xk ) + ln (ε) .
(10)
(11)
(12)
(13)
Uwaga: założenie ln (ε) ∼ N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
7 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeli
Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.
Wybrane własności logarytmu naturalnego
ln(x) < ln(y)
dla 0 < x < y,
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
dla x, y > 0,
ln(x a ) = a ln(x)
dla x, a > 0,
ln(ex ) = x
oraz
eln(x) = x
dla x > 0.
Model wykładniczy:
y = e β0 +β1 x1 +...+βk xk +ε.
Po obustronnym zlogarytmowaniu:
ln (y) = β0 + β1 x1 + . . . + βk xk + ε.
Model funkcji Cobba-Douglasa:
β
y = β0 x1β1 · . . . · xk k ε.
Po obustronnym zlogarytmowaniu:
ln (y) = ln (β0 ) + β1 ln (x1 ) + . . . + βk ln (xk ) + ln (ε) .
(10)
(11)
(12)
(13)
Uwaga: założenie ln (ε) ∼ N (0, σ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
7 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Interpretacja przekształceń logarytmicznych
1
Relacja typu poziom - poziom, tj.
y = α + βx.
2
(14)
Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β jednostek.
Relacja typu poziom - logarytm, tj.
y = α + β ln x.
3
Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o
Relacja typu logarytm - poziom, tj.
(15)
β
100
jednostek.
ln y = α + βx.
(16)
Wzrost X o jednostkę odpowiada wzrostowi y o 100β % jednostek.
4
Relacja typu logarytm - logarytm, tj.
ln y = α + β ln x.
(17)
Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β % jednostek.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
8 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Estymacja parametrów strukturalnych modeli nieliniowych
1
Model linearyzowane/ liniowe względem parametrów:
Metoda estymacji: standardowa dla modeli liniowych (np. MNK).
W przypadku MNK standardowe testowanie własności statystycznych składnika losowego (autokorelacja, heteroskedastycznośc, normalność).
Uwaga: w przypadku modeli linearyzowanych należy pamiętać o przekształceniach, aby odpowiednio interpretować wyniki oszacowań.
2
Model ściśle nieliniowe
Metoda estymacji: nieliniowa MNK (non-linear least squares).
min
X
β
ei2
(18)
i
gdzie e = y − g(x, β).
Zagadanienie optymalizacji nieliniowej: wybór wartości początkowych, możliwość uzyskania minimum lokalnego.
Analogiczne sprawdzanie własności składnika losowego.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
9 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Identyfikacja nieliniowości w modelu nieliniowym
Test poprawnej specyfikacji RESET.
Problem autokorelacji/ heteroskedastyczności składnika losowego może wskazywać na błędną specyfikację modelu.
Test liniowych restrykcji Walda:
Uwzględnienie kwadratów, sześcianów czy interakcji zmiennych objaśniających
oraz testowanie ich łącznej istotności.
Przykład:
y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x12 + β4 x22 + β5 x1 x2 + ε,
(19)
i hipoteza zerowa
H0 :
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
β3 = β4 = β5 = 0.
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(20)
10 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Outline
1
Modele nieliniowe
2
Wybrane funkcje nieliniowe
3
Funkcja produkcji
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
11 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Funkcja logistyczna
Funckja logistyczna względem czasu:
yt =
α
+ εt .
1 + β exp(−γt)
(21)
Własności funkcji logistycznej:
limt→∞ yt = α
(tzw. punkt nasycenia);
y0 = α(1 + β);
punkt przegięcia:
t = ln (β/γ).
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
12 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Transformacja Boxa-Coxa
Model Boxa-Coxa jest przykładem funkcji ściśle nieliniowej:
y = β0 + β1
xλ − 1
λ
+ε
(22)
gdzie y to zmienna objaśniana, x to zmienna objaśniająca, β0 , β1 , λ to parametry strukturalne, a ε to składnik losowy.
Kluczowym parameterem jest λ.
Szczególne przypadki:
λ → 1 to wtedy model liniowy:
λ → 0 to wtedy model liniowy typu poziom-logarytm.
λ → −1 to wtedy model hiperboliczny.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
13 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Transformacja Boxa-Coxa
Model Boxa-Coxa jest przykładem funkcji ściśle nieliniowej:
y = β0 + β1
xλ − 1
λ
+ε
(22)
gdzie y to zmienna objaśniana, x to zmienna objaśniająca, β0 , β1 , λ to parametry strukturalne, a ε to składnik losowy.
Kluczowym parameterem jest λ.
Szczególne przypadki:
λ → 1 to wtedy model liniowy:
λ → 0 to wtedy model liniowy typu poziom-logarytm.
λ → −1 to wtedy model hiperboliczny.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
13 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Funkcje Törnquista
Funkcje Törnquista ilustrują relację między wydatkami (y) a dochodami
konsumentów (x).
I - dobra niższego rzędu:
α (x − δ)
y=
,
(23)
x +β
gdzie α > 0, δ > 0, β < −δ, 0 ≤ x ≤ δ.
II - dobra pierwszej potrzeby:
αx
y=
,
(24)
x +β
gdzie α > 0, β > 0, 0 ≤ x.
III - dobra wyższego rzędu:
y=
gdzie α > 0, δ > 0, β > 0, x ≥ δ.
IV - dobra luksusowe:
y=
α (x − δ)
,
x +β
(25)
αx (x − δ)
,
x +β
(26)
gdzie α > 0, δ > 0, β > 0, x ≥ δ.
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
14 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Outline
1
Modele nieliniowe
2
Wybrane funkcje nieliniowe
3
Funkcja produkcji
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
15 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
opisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektem
procesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K , L).
(27)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K ).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji
1
Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
∂F(K, L)
∂F(K, L)
> 0 oraz MPL(K, L) =
> 0,
∂K
∂L
gdzie MPK(K, L) = FK oraz MPL(K, L) = FL .
MPK(K, L) =
2
Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
<0
∂K
∂K 2
3
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
< 0.
∂L
∂L2
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
> 0.
∂K
∂L∂K
(30)
Stałe korzyści skali:
F (λK, λL) = λF (K, L)
Jakub Mućk
(29)
Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
>0
∂L
∂K∂L
4
(28)
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(31)
16 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
opisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektem
procesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K , L).
(27)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K ).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji
1
Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
∂F(K, L)
∂F(K, L)
> 0 oraz MPL(K, L) =
> 0,
∂K
∂L
gdzie MPK(K, L) = FK oraz MPL(K, L) = FL .
MPK(K, L) =
2
Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
<0
∂K
∂K 2
3
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
< 0.
∂L
∂L2
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
> 0.
∂K
∂L∂K
(30)
Stałe korzyści skali:
F (λK, λL) = λF (K, L)
Jakub Mućk
(29)
Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
>0
∂L
∂K∂L
4
(28)
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(31)
16 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
opisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektem
procesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K , L).
(27)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K ).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji
1
Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
∂F(K, L)
∂F(K, L)
> 0 oraz MPL(K, L) =
> 0,
∂K
∂L
gdzie MPK(K, L) = FK oraz MPL(K, L) = FL .
MPK(K, L) =
2
Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
<0
∂K
∂K 2
3
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
< 0.
∂L
∂L2
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
> 0.
∂K
∂L∂K
(30)
Stałe korzyści skali:
F (λK, λL) = λF (K, L)
Jakub Mućk
(29)
Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
>0
∂L
∂K∂L
4
(28)
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(31)
16 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
opisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektem
procesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K , L).
(27)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K ).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji
1
Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
∂F(K, L)
∂F(K, L)
> 0 oraz MPL(K, L) =
> 0,
∂K
∂L
gdzie MPK(K, L) = FK oraz MPL(K, L) = FL .
MPK(K, L) =
2
Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
<0
∂K
∂K 2
3
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
< 0.
∂L
∂L2
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
> 0.
∂K
∂L∂K
(30)
Stałe korzyści skali:
F (λK, λL) = λF (K, L)
Jakub Mućk
(29)
Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
>0
∂L
∂K∂L
4
(28)
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(31)
16 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
opisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektem
procesu produkcji. Najczęściej:
Y = F(K , L).
(27)
Czynniki produkcji: praca (L) i kapitał (K ).
Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji
1
Dodatnia produktywność czynników wytwórczych:
∂F(K, L)
∂F(K, L)
> 0 oraz MPL(K, L) =
> 0,
∂K
∂L
gdzie MPK(K, L) = FK oraz MPL(K, L) = FL .
MPK(K, L) =
2
Malejąca produktywność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
<0
∂K
∂K 2
3
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
< 0.
∂L
∂L2
i
∂MPL(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
> 0.
∂K
∂L∂K
(30)
Stałe korzyści skali:
F (λK, λL) = λF (K, L)
Jakub Mućk
(29)
Komplementarność czynników wytwórczych:
∂MPK(K, L)
∂ 2 F(K, L)
=
>0
∂L
∂K∂L
4
(28)
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(31)
16 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Przychody względem skali
Stałe korzyści skali
F (λK , λL) = λF (K , L)
(32)
F (λK , λL) > λF (K , L)
(33)
F (λK , λL) < λF (K , L)
(34)
Rosnące korzyści skali
Malejące korzyści skali
Funkcja homogeniczna r-tego stopnia
F (λK , λL) = λr F (K , L)
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(35)
17 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji
Izokwanta (wartswica)
to krzywa łącząca kombinację nakładów czynników wytwórczych pozwalająca uzyskać ten sam poziom produktu:
Y (K , L) = Y0 .
Przykład #1:
liniowa funkcja produkcji
Y = F(K , L) = K + L
(36)
L
(0, β)
(37)
Izokwanty dla 0 < α < β można
zapisać jako:
L
L
=
=
(0, α)
α−K
β−K
α=K +L
β =K +L
(α, 0)
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
K
(β, 0)
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
18 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji
Izokwanta (wartswica)
to krzywa łącząca kombinację nakładów czynników wytwórczych pozwalająca uzyskać ten sam poziom produktu:
Y (K , L) = Y0 .
Przykład #1:
liniowa funkcja produkcji
Y = F(K , L) = K + L
(36)
L
(0, β)
(37)
Izokwanty dla 0 < α < β można
zapisać jako:
L
L
=
=
(0, α)
α−K
β−K
α=K +L
β =K +L
(α, 0)
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
K
(β, 0)
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
18 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.)
Przykład #2:
funkcja produkcji Leontiefa
L
Y = F (K , L) = min(K , L) (38)
Izokwanty dla 0 < α < β,
Czynniki produkcji, tj. praca i kapitał, są komplementarne.
β = min(K , L)
β
α = min(K , L)
α
α
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
β
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
K
19 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.)
Przykład #2:
funkcja produkcji Leontiefa
L
Y = F (K , L) = min(K , L) (38)
Izokwanty dla 0 < α < β,
Czynniki produkcji, tj. praca i kapitał, są komplementarne.
β = min(K , L)
β
α = min(K , L)
α
α
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
β
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
K
19 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.)
Przykład #3:
funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Y = F (K , L) = K 0.5 L0.5
L
β2
(39)
Izokwanty dla 0 < α < β można
zapisać jako:
L
=
L
=
α2
K
β2
L
β = K 0.5 L0.5
α2
α = K 0.5 L0.5
α2
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
β2
K
20 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Analiza graficzna funkcji produkcji (cd.)
Przykład #3:
funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Y = F (K , L) = K 0.5 L0.5
L
β2
(39)
Izokwanty dla 0 < α < β można
zapisać jako:
L
=
L
=
α2
K
β2
L
β = K 0.5 L0.5
α2
α = K 0.5 L0.5
α2
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
β2
K
20 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Dodatkowe definicje i charakterystyki funkcji produkcji
Teczniczne uzbrojenie pracy: iloraz kapitału i pracy K /L.
Krańcowa stopa substytucji:
KSS = −
MPL(K , L)
FL
=−
FK
MPK (K , L).
(40)
Elastyczność substytucji:
σ=
Jakub Mućk
Ekonometria
Wykład 7
∂(K /L) KSS
∂KSS (K /L)
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(41)
21 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Funkcja Cobba-Douglasa
F(K , L) = AK α Lβ
(42)
gdzie A > 0 oraz α, β ∈ (0, 1) .
Dodatnia produkcynojść krańcowa czynników, tj. MPK (K , L), MPL(K , L) > 0:
MPK (K , L) =
∂Y
= αAK α−1 Lβ = α
A K α−1 Lβ > 0
|{z} |{z}
| {z } |{z}
∂K
+
+
+
(43)
+
Malejąca krańcowa produktywność czynników, tj. FKK < 0 oraz FLL < 0:
∂MPK (K , L)
∂2Y
=
= (α − 1)αAK α−2 = (α − 1) αAK α−2 < 0
∂K
∂K 2
| {z } | {z }
−
(44)
+
Komplementarność czynników wytwórczych, tj. FKL > 0 oraz FLK > 0:
∂MPK (K , L)
∂2Y
=
= αβAK α−1 Lβ−1 > 0
∂L
∂K ∂L
Stałe elastyczności cząstkowe. W tym przypadku: α dla K oraz β dla L:
el(Y /K ) =
Jakub Mućk
Ekonometria
∂Y /Y
K
AK α Lβ
= αAK 1−α Lβ
=α
=α
∂K /K
Y
AK α Lβ
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(45)
(46)
22 / 23
Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Krańcowa stopa substytucji pracy względem kapitału:
KSS = −
MPL(K , L)
βAK α Lβ−1
β K AK α Lβ
βK
=−
=−
=−
α−1
β
MPK (K , L)
αAK
L
α L AK α Lβ
α L
(47)
Jednostkowa elastyczność substytucji:
σ=
Jakub Mućk
Ekonometria
α −(β/α)(K /L)
∂(K /L) KSS
=−
= 1.
∂KSS (K /L)
β
(K /L)
Wykład 7
Modele nieliniowe i funkcja produkcji
(48)
23 / 23