25.10.

Metody dowodzenia twierdzeń
1
Indukcja matematyczna
2
Przykład. Obliczyć 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1), gdzie n jest liczbą
naturalną.
Dyskusja. Wprowadźmy oznaczenie:
Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1).
Mamy: S1 = 1, S2 = 1 + 3 = 4, S3 = 1 + 3 + 5 = 9, S4 = 16,
S5 = 25, S6 = 36.
Widzimy, że powinno być Sn = n2. Czy można to jakoś uzasadnić? Trzeba się przyjrzeć, w jaki sposób otrzymujemy kolejne
Sn .
3
Na przykład, jeśli mamy już obliczone
S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36,
to
S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
nie będziemy liczyli od początku, tylko wykorzystamy zależność
S7 = S6 + 13 = 36 + 13 = 49.
Podobnie
S8 = S7 + 15 = 49 + 15 = 64
i tak dalej. Zwróćmy uwagę na to, co należy dodać do Sk , żeby
otrzymać Sk+1. Jeśli Sk = k2, to
Sk+1 = Sk + (2 · (k + 1) − 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.
4
Ogólny schemat metody indukcji
Jeśli T (n) jest formą zdaniową określoną w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie
(T (0) ∧ ∀k∈N (T (k) ⇒ T (k + 1))) ⇒ ∀n∈N T (n).
W przypadku formy zdaniowej określonej w zbiorze N1 = {1, 2, 3, . . . },
rozważamy zdanie
(T (1) ∧ ∀k∈N1 (T (k) ⇒ T (k + 1))) ⇒ ∀n∈N1 T (n).
5
Przykłady dowodów indukcyjnych
Zadanie. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n
n · (n + 1) · (n + 2)
.
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) =
3
Zadanie. Dowieść, że dla dowolnego n ≥ 0 liczba 22n+1 + 3n + 7
jest podzielna przez 9.
Zadanie. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n i dla dowolnego rzeczywistego x > −1 zachodzi nierówność
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
6
Inne warianty metody indukcji
Dowód indukcyjny w następnym zadaniu będzie przebiegał według schematu:
I. T (0) ∧ T (1) ∧ T (2).
II. Krok indukcyjny: T (k) ∧ T (k + 1) ∧ T (k + 2) ⇒ T (k + 3) dla
dowolnego k ≥ 0.
Zadanie. Ciąg (an) określają następujące warunki:
a0 = 2 , a1 = 3 , a2 = 6 ,
an = (n + 4)an−1 − 4nan−2 + 4(n − 2)an−3 , dla n ≥ 3.
Udowodnij, że dla każdego n
an = n! + 2n.
7
Twierdzenie. Dowieść, że dowolną liczbę naturalną większą od
1 można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. (Jeśli
n jest liczbą pierwszą, to iloczyn ten składa się tylko z jednego
czynnika.)
Schemat dowodu:
I) T(2)
II) Krok: T (2) ∧ . . . ∧ T (k − 1) ⇒ T (k) dla każdego k > 2.
8
Twierdzenia i dowody
9
Twierdzenie to prawdziwe zdanie logiczne dotyczące obiektów
danej teorii.
√
Przykład: „ 2 jest liczbą niewymierną”.
10