Publiczne Gimnazjum

2. Podzielność.
Sposoby opisywania własności podzielności liczb:
własność
Liczba x podzielna przez 2 ( parzysta)
Liczba x nie podzielna przez 2 ( nieparzysta)
Liczba
Liczba
Liczba
Liczba
Liczba
x
x
x
x
x
x
x
x
podzielna przez 3
podzielna przez 10
która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1
która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2
która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 4
Wzór ( n  C )
= 2n
= 2n+1 lub
= 2n -1
= 3n
= 10n
= 3n +1
= 3n +2
= 7n + 4
Każdą liczbę całkowitą można otrzymać z jednego wzoru spośród podanych
poniżej :
a) 3n lub 3n+1 lub 3n+2 ( dowolna liczba całkowita przy dzieleniu przez 3 daje
resztę 0 lub 1 lub 2.)
b) 4n lub 4n +1 lub 4n+2 lub 4n+3 ( dowolna liczba całkowita przy dzieleniu
przez 4 daje resztę 0 lub 1 lub 2 lub 3.)
Wzorów takich można podać nieskończenie wiele.
Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1 , która posiada tylko dwa
dzielniki : jedynkę i samą siebie.
Liczby złożone to liczby naturalne większe od 1, które posiadają więcej niż
dwa dzielniki.
Liczby względnie pierwsze to dwie liczby całkowite których NWD jest liczba
jeden np.: 8 i 9.
Przykład 1 : Wykaż, że liczba :
a) 6  5  5  5 jest podzielna przez 10.
Dowód polega na uzasadnieniu, że ta liczba ma ostatnią cyfrę 0 ( cecha
podzielności) albo , że można ją przedstawić jako iloczyn liczby 10 przez liczbę
całkowitą (tabelka) lub, że jest podzielna przez 2 i 5 ( liczby 2 i 5 są względnie
pierwsze i 2  5  10 )
3
4
5
6  53  5 4  55 = wyłączając czynnik przed nawias otrzymamy 53( 6 + 5 + 52)
liczba 53 jest podzielna przez 5 więc liczba będąca iloczynem liczby podzielnej
przez 5 i liczby całkowitej też jest podzielna przez 5 ,liczba w nawiasie jest sumą
liczby parzystej i dwóch liczb nieparzystych jest więc liczbą parzystą , stąd
również cała liczba dzieli się przez 2. Liczba podzielna przez 2 i 5 jest podzielna
przez 10.
Można również uzasadnić tak:
ponieważ liczba w nawiasie jest liczbą parzystą więc można ją przedstawić jako
 C i 6  53  5 4  55 = 53( 6 + 5 + 52) = 53  2n =
2
10  5  n = 10  s
2
gdzie s = 5  n jest liczbą całkowitą ( bo jest iloczynem 25 i liczby całkowitej).
x = 2n gdzie n
Udowodniliśmy ,że liczba jest równa iloczynowi 10 i liczby całkowitej czyli, że
jest podzielna przez 10.
Przykład.2 Udowodnij podzielność liczby 512 – 1 przez 31.Zapis symboliczny
( liczba 31
512 – 1
czytamy liczba 31 dzieli liczbę 512 - 1)
stosujemy wzory skróconego mnożenia
12
6
5 – 1 = (5 – 1)(56 +1) = (53 – 1)(53 +1)(56 +1) = 124(53 +1)(56 +1) =
31  4  (53 +1)(56 +1)= 31  s gdzie s jest liczbą całkowitą.
Przykład.3 Wykaż, że kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3
resztę 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
- niech 3x+2 będzie liczbą , która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2
gdzie x  C
(3x+2)2-kwadrat tej liczby
po przekształceniu tego kwadratu mamy 9x 2+12x+4 = 9x2+12x+3+1
wyłączamy 3 przed nawias otrzymując : 3(3x2+4x+1) +1
wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą ponieważ mnożąc , potęgując i
dodając liczby całkowite otrzymuje się też całkowite,
przyjmując dalej oznaczenie 3x2+4x+1=n
otrzymujemy 3n+1 gdzie n  C .
Jest to ogólny wzór liczby całkowitej ,która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
2
ZESTAW ZADAŃ DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA.
Zad.1 Przy dzieleniu liczb naturalnych a , b , c przez 5 otrzymujemy odpowiednio
reszty 1,2,3 . Oblicz resztę z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 5.
Zad. 2 Zapisz jakim ogólnym wzorem może być zapisana każda liczba podzielna
przez 3 i nie podzielna przez 6.
Zad.3 Udowodnij, że liczba 318 –218 jest liczbą podzielną przez 19.
Zad.4 Wykaż podzielność liczby
Zad.5 Wykaż , że liczba
6 20  3  619  4  618 przez 5.
5  37  2  36  3  35 jest parzysta.
Zad.6 Udowodnij, że liczba x3 – x jest podzielna przez 6 jeżeli x
C .
Zad.7 Udowodnij, że różnica kwadratów dwu kolejnych liczb całkowitych
nieparzystych jest podzielna przez 8.
Zad.8 Wykazać, ze dla dowolnej liczby naturalnej n liczba
n 3  n 2  n 1
n 1
jest liczbą
naturalną.
Zad.9 Wykazać, że suma trzech kolejnych potęg liczby 3 jest zawsze podzielna
przez 13.
Zad.10 Sprawdź podzielność liczby 10100 +2 przez 3 nie wykonując dzielenia.
Zad.11 Uzasadnij , że liczba 213 + 321 jest podzielna przez 5.
3