Liczby doskonałe

Monika Dopierała
LICZBY DOSKONAŁE-PERFECT NUMBER
Liczba doskonała to liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników
właściwych. Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, poniewaŜ 6 = 3 + 2 + 1. Następne to:
28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1,
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,
8128= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 . .
i kolejne: 33550336, 137438691328, 2305843008139952128…
Prawdopodobnym jest, Ŝe o liczbach doskonałych wiedzieli juŜ staroŜytni Egipcjanie.
Z całą pewnością studiował je Pitagoras (i koledzy), który z niezupełnie zrozumiałych dziś
powodów podchodził do nich od strony mistycznej raczej niŜ matematycznej.
StaroŜytni znali tylko cztery liczby doskonałe:
6 (jako doskonała zauwaŜona została przez Św. Augustyna (354-430), który napisał "Sześć
jest liczbą samą w sobie doskonałą nie dlatego, Ŝe Bóg dokonał dzieła stworzenia w sześć
dnia; raczej Bóg stworzył wszystko w dni sześć, bo liczba sześć jest doskonała właśnie."),
28 ,(księŜyc obiega Ziemie w ciągu 28 nocy),496 ,8128. śyjący na przełomie I i II wieku
Mikomachos, autor "Arytmetyki", uwaŜał, Ŝe obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie,
toteŜ nie naleŜy się spodziewać, Ŝe liczb doskonałych będzie duŜo.
Pierwsze udokumentowane rozwaŜania o liczbach doskonałych pojawiają się w
„Elementach” Euklidesa około 300 roku p.n.e. Znajduje się tam twierdzenie
Jeśli wziąć dowolnie duŜo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a kaŜda następna jest dwa
razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę
pierwszą, to liczba ta pomnoŜona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu
będzie liczbą doskonałą. (tzn: naleŜy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np.
1 + 2 + 4 + 8 +... JeŜeli któraś z otrzymanych sum okaŜe się liczbą pierwszą, naleŜy
pomnoŜyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.)
np.:
1 + 2 = 22 − 1 = 3
a 3 to liczba pierwsza. A więc, poniewaŜ
2·3=6,
to 6 jest liczbą doskonałą.
1 + 2 + 4, prowadzi do kolejnej liczby doskonałej 4 · 7=28.itd.
Okazuje się, Ŝe w ten sposób moŜna otrzymać kaŜdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej
mówiąc, kaŜda liczba doskonała parzysta ma postać:
( 2p-1 )· 2p-1, gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą.
Nietrudno pokazać, Ŝe przy tym załoŜeniu równieŜ p jest liczbą pierwszą – tak więc liczby
doskonałe parzyste są bezpośrednio związane z liczbami pierwszymi Mersenne'a. (liczby
określone wzorem 2p − 1 gdzie p jest liczbą pierwszą).
Znaczący z matematycznego punktu widzenia postęp w badaniach nad liczbami
doskonałymi dokonał się w roku 1536. W roku tym Hudalrichus Regius opublikował dzieło
Utriusque Arithmetices, w którym pokazał, Ŝe liczba 211−1 = 2047 nie jest liczbą pierwszą, bo
dzieli się przez 23 i przez 89. Tym samym pokazał, Ŝe nie wszystkie liczby postaci
2(p − 1) · (2p − 1) , gdzie p jest liczbą pierwszą, są liczbami doskonałymi. Dalej pokazał on, Ŝe
213 − 1 jest liczbą pierwszą, a więc 212 · (213 − 1) = 33550336 jest liczbą doskonałą (piątą z
kolei). Na początku XVII Cataldi odkrył wieku szóstą [ 216 · (217 − 1) = 8589869056 ] i
siódmą [ 218 · (219 − 1) = 137438691328 ] liczbę doskonałą
W połowie wieku XVII w sprawę liczb doskonałych wmieszali się specjaliści od liczb
pierwszych Fermat i Mersenne. Ten ostatni napisał w swoim dziele Cogitata physica
mathematica, Ŝe dla liczb (pierwszych) p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257
odpowiadające im liczby postaci 2(p − 1) · (2p − 1) są doskonałe. Napisał teŜ, Ŝe "...dla liczby o
15, czy 20 cyfrach sprawdzenie, czy jest pierwsza, ze względu na potrzebny czas jest po prostu
niemoŜliwe..."
Dalszy postęp nastąpił za sprawą Eulera w roku 1732. Znalazł on liczbę doskonałą dla
p=31, a jest ona równa 2305843008139952128. I pozostawała największą znaną liczbą
doskonałą przez 150 lat. W roku 1883 Pervusin pokazał, Ŝe 260 · (261 − 1) jest doskonała.
Dziś znamy 44 liczb doskonałych. Ostatnią znalezioną "ręcznie" (w 1911 roku) jest
288
2 · (2289 − 1) która ma 173 cyfry w rozwinięciu dziesiętnym.. Historia największych liczb
doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna.
Stąd teŜ dzięki odkryciu liczby pierwszej Mersenne'a 232582657 − 1, odkryto największa jak
dotąd liczbę doskonałą:
(232582656 )∑(232582657 − 1)
liczy ona 19 616 714 cyfr w
rozwinięciu dziesiętnym.
k
2k-1
2k-1
Liczby doskonałe
2
3
5
7
13
17
19
31
...
2
4
16
64
4 096
65 536
262 144
1 073 741 824
...
3
7
31
127
8 191
131 071
524 287
2 147 483 647
...
6
28
496
8128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
...
Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, nie ma teŜ dowodu, Ŝe
liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, Ŝe kaŜda liczba doskonała nieparzysta musi być
4k+1 2
postaci p
L ,gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4L+1. Wiadomo teŜ, Ŝe jeśli liczba taka
istnieje, to musi być większa od 10300 (dane z roku 1990).
Wszystkie parzyste liczby doskonałe moŜemy takŜe zapisać w formie: P=1+9Tn ,
gdzie Tn –liczby trójkątne(tzn.z Tn jednakowych kul moŜna ułoŜyć trójkąt równoboczny
np:1,3,6,10,15..) dane wzorem Tn = ½ n(n+1), dla n=8j+2 (j=0,1..).
Suma odwrotności wszystkich dzielników liczby doskonałej jest równa 2:
np.
6 : 1 + 12 + 13 + 16 = 2
28 : 1 + 12 + 14 + 17 + 141 + 281 = 2
Poza tym wszystkie parzyste liczby doskonałe sa hexagonalne tzn Ŝe kaŜda z nich jest
suma kolejnych liczb naturalnych zaczynając od 1. np.:
3
6 = ∑n
n =1
7
28 = ∑ n
n =1
31
496 = ∑ n
n =1
gdzie 3,7,31.. są po prostu liczbami pierwszymi Mersenne’a.
Ostatnie cyfry w pierwszych kilku liczbach doskonałych to : 6, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8,
6, 8, 8, ...KaŜda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.
Liczby zaprzyjaźnione to para róŜnych liczb naturalnych takich, Ŝe suma dzielników
kaŜdej z tych liczb równa się drugiej (nie licząc dzielników przez samą siebie)
Pierwszą parą takich liczb, która została podana juŜ przez Pitagorasa , jest para liczb 220 i
284 poniewaŜ:
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284)
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220)
Nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje
taka para liczb o róŜnej parzystości. Przykłady innych par liczb zaprzyjaźnionych:
220 i 284, 1184 i 1210 ,2620 i 2924 ,5020 i 5564 ,6232 i 6368,10744 i 10856,12285 i
14595,17296 i 18416,63020 i 76084,66928 i 66992,9363584 i 9437056.
Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został wynaleziony przez arabskiego
matematyka Tabit Ibn Qurra ok. roku 850.
niech
jest liczbą naturalną
,
,
jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi
wówczas :
i
są liczbami zaprzyjaźnionymi.
Generuje pary (220, 284),(17,296, 18,416) oraz (9,363,584, 9,437,056), ale juŜ nie (6232,
6368). Formuła sprawdza się dla n = 2, 4 oraz 7 ale nie dla Ŝadnego innego n <20000.
Dzisiaj znamy prawie 8000 zaprzyjaźnionych par, których składniki potrafią być rzędu
109.
Liczby zaprzyjaźnione znane były juŜ w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im
znaczenie mistyczne. StaroŜytni Grecy wierzyli, Ŝe amulety z wygrawerowanymi liczbami
zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.
Piękny przykład tego jak staroŜytni traktowali matematykę, a liczby w szczególności daje
Nikomachus z Gerazy (~100 n.e.). Podzielił on wszystkie liczby na takie, których suma
podzielników jest większa od samej liczby (te nazwał nadmiarowymi
np.24:1+2+3+4+6+8+12=36) i te, których podzielniki dodane dadzą mniej niŜ ta liczba (i
nazwał je niedomiarowaymi)np. 10:1+2+5=8. W przypadku równości liczba taka była juŜ
nazwana wcześniej doskonałą. Nikomachus, po stwierdzeniu, Ŝe liczby mogą być tak róŜne,
zabrał się za poszukiwanie analogii w świecie go otaczającym. Po rozejrzeniu się wokół
przyrównał liczby nadmiarowe do zwierzęcia
"...o dziesięciu paszczach, dziewięciu zaś ustach, o trzech liniach zębów, lub setce ramion, czy
zbyt duŜej liczbie palców..." Z kolei liczby niedomiarowe to stworzenia
"...o jednym oku,... jednorękie, lub o mniejszej niŜ pięć liczbie palców u dłoni, albo teŜ nie
mające języka..." .Oczywiście liczby doskonałe to byty mające wszystkiego tyle akurat, ile im
trzeba.
Bibliografia:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_doskona%C5%82e
http://www.u.lodz.pl/~wibig/hieronim/hie15pok.htm
http://matma.viii-lo.krakow.pl/?id=5,24
http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zaprzyja%C5%BAnione