Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych
advertisement
Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych Laboratorium 1: Modele ciągłe. Model Lotki-Volterry. mgr. inż. Urszula Smyczyńska Ćwiczenie 1: proste modele • Prawo Malthus’a – model populacyjny. • Model populacyjny z ograniczoną pojemnością środowiska. • Prawo rozpadu promieniotwórczego. • Model stężenia leku w krwioobiegu: ▫ ze stałym tempem dostarczenia leku, ▫ z malejącym tempem dostarczania leku. Prawo Malthus’a = x – liczebność populacji t - czas r – współczynnik wzrostu populacji w przeliczeniu na osobę. Można przyjąć = − , przy czym b będzie współczynnikiem urodzeń, a d współczynnikiem umieralności Prawo Malthus’a - rozwiązanie = x – liczebność populacji t - czas r – współczynnik wzrostu populacji w przeliczeniu na osobę. = ⋅ x0 – początkowa liczność populacji Rozwój populacji z ograniczoną pojemnością środowiska = 1− x – liczebność populacji t - czas r – współczynnik wzrostu populacji w przeliczeniu na osobę K – pojemność środowiska Rozwój populacji z ograniczoną pojemnością środowiska - rozwiązanie = 1− x – liczebność populacji t - czas r – współczynnik wzrostu populacji w przeliczeniu na osobę K – pojemność środowiska = = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ - stała obliczona z warunku początkowego x0 – początkowa liczność populacji Rozwój populacji ludzkiej Świat Świat 8,00E+09 8,00E+09 7,00E+09 7,00E+09 6,00E+09 6,00E+09 5,00E+09 5,00E+09 liczba ludzi liczba ludzi f(x) = 0,00157 exp( 0,01448 x ) 4,00E+09 3,00E+09 4,00E+09 3,00E+09 2,00E+09 2,00E+09 1,00E+09 1,00E+09 0,00E+00 900 1100 1300 1500 rok Dane z wikipedia.org 1700 1900 2100 0,00E+00 1870 1890 1910 1930 1950 liczba ludzi 1970 1990 2010 2030 Rozwój populacji ludzkiej Afryka Europa 1,40E+09 8,00E+08 1,20E+09 7,00E+08 6,00E+08 1,00E+09 liczba ludzi liczba ludzi 5,00E+08 8,00E+08 6,00E+08 4,00E+08 3,00E+08 2,00E+08 4,00E+08 1,00E+08 2,00E+08 0,00E+00 1870 0,00E+00 1600 1890 1910 1930 1950 liczba ludzi Dane z wikipedia.org 1970 1990 2010 2030 1650 1700 1750 1800 liczba ludzi 1850 1900 1950 2000 2050 Rozpad promieniotwórczy =− N – ilość substancji promieniotwórczej t - czas λ – stała rozpadu Rozpad promieniotwórczy - rozwiązanie = =− N – ilość substancji promieniotwórczej t - czas λ – stała rozpadu = ⋅ N0 – początkowa ilość materiału promieniotwórczego ln(2) / Rozpad promieniotwórczy = ln(2) / Izotop / 8,02 D 5,26 L 3,92 s 109,8 M 1600 L 5730 L D – dni, L – lata, s – sekundy, M - minuty Stężenie leku w osoczu =− + C – stężenie leku w krwiobiegu t - czas k – współczynnik naturalnego zanikania leku Cz(t) – ilość leku podawanego na jednostkę czasu Stężenie leku w osoczu, stałe tempo podawania =− + C – stężenie leku w krwiobiegu t - czas k – współczynnik naturalnego zanikania leku I – ilość leku podawanego na jednostkę czasu Stężenie leku w osoczu, stałe tempo podawania - rozwiązanie =− + C – stężenie leku w krwiobiegu t - czas k – współczynnik naturalnego zanikania leku I – ilość leku podawanego na jednostkę czasu = = − ⋅ − ⋅ C0 – początkowe stężenie Stężenie leku w osoczu, malejące tempo podawania =− + − C – stężenie leku w krwiobiegu t - czas k – współczynnik naturalnego zanikania leku I0 - vt – tempo podawania leku Oscylator harmoniczny 2 2 =− m – masa t - czas k – współczynnik sprężystości Oscylator harmoniczny - rozwiązanie 2 2 = =− ⋅ cos(ω − ϕ) = m – masa t - czas k – współczynnik sprężystości ϕ=− 0 cos(−ϕ) (− 0̇ ⋅ ) 0 0– warunek początkowy dla położenia 0̇ – warunek początkowy dla prędkości (pochodnej położenia) Model Lotki-Volterry = =− − + 1 2 x – liczebność ofiar y – liczebność drapieżników A – tempo rozmnażania populacji ofiar B – tempo redukcji populacji ofiar przez drapieżniki C – umieralność drapieżników D – tempo przyrostu populacji drapieżników wskutek zjadania ofiar