Zadania z teorii grup – seria I 1. Wykazac, ˙ze jesli w pewnej grupie

Zadania z teorii grup – seria I
1. Wykazać, że jeśli w pewnej grupie elementy x, y, z speÃlniaja, relacje
xyx−1 = y 2 ,
yzy −1 = z 2 ,
zxz −1 = x2 ,
to x = 1, y = 1, z = 1.
2. Wykazać, że jeśli w pewnej grupie G znajdziemy dwa nieprzemienne elementy x, y o tej wÃlasności, że
xyx = x,
yxy = y,
to generuja, one podgrupe, w G, izomorficzna, z grupa, kwaternionowa, Q8 .
3. Zbadać, które klasy sprze,żoności permutacji parzystych w grupie permutacji Sn rozpadaja, sie, na mniejsze
klasy sprze,żoności w grupie An .
4. Wykaż, że zbiór wszystkich cykli (ijk) dÃlugości 3 generuje grupe, An .
5. Wykaż, że funkcja f : Z11 −→ Z11 , dana wzorem f (x) = 4x2 − 3x7 jest permutacja, zbioru Z11 . Przedstaw
te, permutacje, w postaci iloczynu parami rozÃla,cznych cykli, określ jej parzystość oraz wyznacz permutacje,
odwrotna,.
6. Wyznacz wszystkie grupy skończone, które maja, dokÃladnie dwie klasy sprze,żoności.
7. Wyznacz wszystkie grupy, których jedynym automorfizmem jest przeksztaÃlcenie identycznościowe.
8. Niech S, T be,da, podgrupami grupy G. Wykaż, że podzbiór
ST = {s · t : s ∈ S, t ∈ T }
jest podgrupa, G wtedy i tylko wtedy, gdy ST = T S.
9. Niech S, T be,da, niepustymi podzbiorami skończonej grupy G. Wykaż, że albo G = ST albo |G| > |S| + |T |.
10. Niech S, T be,da, podgrupami grupy G. Wykaż, że podzbiór
ST = {s · t : s ∈ S, t ∈ T }
jest podgrupa, G wtedy i tylko wtedy, gdy ST = T S.
11. Wykaż, że jeśli G jest grupa, skończona, oraz K 6 H 6 G, to
[G : K] = [G : H][H : K].
12. Wykaż, że każda podgrupa nieabelowej grupy Q8 jest normalna.
13. Niech K be,dzie ciaÃlem. Wykaż, że grupa SLn (K) macierzy o wyznaczniku 1 jest podgrupa, normalna, grupy
liniowej GLn (K).
1
14. Wykaż, że każdy element komutanta grupy G może być przedstawiony w postaci iloczynu
−1
−1
a1 a2 · · · an a−1
1 a2 · · · an
dla pewnych elementów ai ∈ G oraz pewnej liczby naturalnej n.
15. Wykaż, że grupa ilorazowa R/Z jest izomorficzna z multiplikatywna, grupa, liczb zespolonych o module 1.
16. Niech M < G be,dzie podgrupa, maksymalna, ze wzgle,du na inkluzje,, tj. dla dowolnej podgrupy S < G takiej,
że M 6 S mamy M = S. Wykaż, że jeśli M jest podgrupa, normalna, w G, to [G : M ] < ∞ oraz [G : M ]
jest liczba, pierwsza,.
17. Wykaż. że grupa
SO(3) = {A ∈ M3 (R) : AT A = I, det(A) = 1}
nie ma podgrup normalnych różnych od {I} oraz caÃlej grupy SO(3).
18. Niech K be,dzie ciaÃlem i niech eij be,dzie macierza, kwadratowa, stopnia n, która ma 1 w miejscu (i, j) i zera
poza tym. Wykaż, że grupa GLn (K) jest generowana przez zbiór macierzy postaci
tij (α) = I + αeij ,
d(β) = I + (β − 1)enn ,
α, β ∈ K, β 6= 0, i 6= j.
19. Wskaż siedmioelementowy podzbiór S ⊂ Z w grupie liczb caÃlkowitych, który generuje te, grupe,, ale żaden
jego podzbiór wÃlaściwy nie ma tej wÃlasności.
20. Element g grupy G nazwiemy niegeneratorem, jeśli zawsze można go usuna,ć ze zbioru generatorów, tj. jeśli
hSi = G, to także hS \ {g}i = G. Wykaż, że zbiór niegeneratorów tworzy podgrupe, grupy G.
21. Wykaż, że jeśli A, B sa, podgrupami grupy G, to [A : A ∩ B] 6 [G : B].
22. Wykaż, że cze,ść wspólna skończonej rodziny podgrup skończonego indeksu w nieskończonej grupie G jest
także podgrupa, skończonego indeksu.
2