zadania - Ekonomik

ZADANIA FAKULTATYWNE Z ODDZIAŁYWAŃ GRAWITACYJNYCH
1. Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na planecie, której zarówno promień, jak i masa są dwa razy mniejsze
od promienia i masy Ziemi.
Odp. gx = 2g
2.
Odpowiedz na pytanie, jak i ile razy zmieniłaby się siła wzajemnego oddziaływania między Księżycem a Ziemią,
gdyby Księżyc miał 2 razy większą masę i znajdował się 4 razy dalej od Ziemi. Zapisz obliczenia.
Odp. F2
= 1/8 F1
3. Średnia gęstość planety jest równa średniej gęstości Ziemi. Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na tej planecie,
jeżeli masa planety jest osiem razy mniejsza od masy Ziemi. Odp. gx = 1/ 2g
4. Oblicz średnią gęstość Ziemi. Do obliczeń wykorzystaj (tytko) stałe fizyczne: G = 6,67*10-11 (N*m2)/kg2, g = 9,81
m/s2 , R = 6,37 *106 m.
Odp.  = 3g / (4GR) = 5515 kg/m3
5. Oblicz, jaki powinien być okres obrotu Ziemi wokół własnej osi (w godzinach), aby wypadkowa siła nacisku
działająca na równiku wynosiła 0. Dane jest (tylko!) przyspieszenie ziemskie na równiku g 10 m/s2 i promień
Ziemi R = 6,37 *106 m.
Odp. T = 2(R/g)1/2  1,43 h
6. Oblicz, na jakiej wysokości h nad powierzchnią Ziemi człowiek ważyłby cztery razy mniej niż tuż przy
powierzchni Ziemi. Promień Ziemi R = 6,37 *106 m. Odp. h = R
7. Dwie jednorodne kule o promieniu r = 1m, wykonane z tego samego materiału stykają się. Ile razy zmaleje wartość
siły przyciągania grawitacyjnego między kulami jeśli rozsuniemy je na odległość l = 1m?
8. Jaką prędkość musi mieć satelita Księżyca, aby krążył na wysokości h = 300 km nad jego powierzchnią. Masa
Księżyca Mk = 7, 35*1022 kg, a jego promień Rk = 1783 km.
9. Znajdź masę Ziemi, wiedząc, że sztuczny satelita obiega ją na wysokości h = 1000 km w czasie T = 1 h 45 min.
Promień Ziemi R = 6,37 *106 m.
10. Oblicz wartość energii całkowitejj satelity o masie 400 kg krążącego na wysokości 1000 km nad powierzchnią
Ziemi.
11. Ile razy wartość drugiej prędkości kosmicznej dla Ziemi jest większa od wartości prędkości liniowej sztucznego
satelity poruszającego się po orbicie kołowej o promieniu R = 8Rz, Rz – promień Ziemi.
12. Blisko pierwszej planety krąży po orbicie kołowej satelita z szybkością 10 km/s. Również wokół drugiej planety,
blisko jej powierzchni, krąży po okręgu satelita. Obie planety mają tę samą gęstość, ale druga ma 8 razy większą
objętość. Ile wynosi szybkość satelity krążącego wokół drugiej planety? Odp. vII = 2 vI =20 km/s
13. Wokół Marsa krążą dwa księżyce Fobos i Demos. Wyraź wzorem energię potencjalną układu tych trzech ciał.
14. Jaką pracę należy wykonać, aby wystrzelić na orbitę
d = 1600 km satelitę o masie m = 500kg? Ziemi R = 6,37 *106 m.
odległą
od
powierzchni
Ziemi
o
15. Mars obiega Słońce w czasie około Tm = 1,88 lat ziemskich. Oblicz średnią odległość Marsa od Słońca.
16. Dwie jednakowe gwiazdy krążą po wspólnej orbicie o promieniu R z okresem T. Oblicz pracę jaką należy
wykonać, aby dwukrotnie zwiększyć promień orbity takiej gwiazdy podwójnej. Odp. W = 25R54/(GT4)
17. Ile wynosi natężenie pola grawitacyjnego w połowie odległości między ciałami o masach m1 = 5*1021 kg i m2 =
1*1022 kg odległymi o d = 2*106 km od siebie?
18. *Jak głęboki musiałby być szyb kopalni, aby na jego dnie ciała ważyły o k = 0,1 mniej niż na powierzchni
Ziemi? Odp. h = Rzk
19. *Jaką pracę wykonuje pole grawitacyjne, aby masę m przenieść z nieskończoności do środka Ziemi? ODP. W0 =
-3/2 mvI2
20. Ciało o masie m = 100 kg porusza się po orbicie na wysokości h = 160
km nad powierzchnią Ziemi. Promień Ziemi R = 6370 km, wartość
przyspieszenia g = 9,81 m/s
a.
a) Oblicz wartość prędkości v, ciała. Odp. vI = (gR2 / (R+h))1/2
b. b) Jaką pracę W należałoby wykonać, aby przenieść ciało z orbity
znajdującej się na wysokości h nad powierzchnią Ziemi na orbitę znajdującą się na wysokości h1 = 300 km od
powierzchni Ziemi? Odp. W = (gR2m/2)(1/((R+h)-1/R+h1))
c. c) Podaj zależność okresu T{ obiegu satelity na orbicie bliższej i okresu T2 obiegu satelity na orbicie dalszej.
Odp. T12/T22 = (R+h)3 / (R+h1)3
d. d) Jaką pracę W1 należałoby wykonać nad ciałem poruszającym się po orbicie w odległości h = 160 km od
powierzchni Ziemi, aby opuściło pole grawitacyjne Ziemi? Odp.
W1 = gR2m / 2(R + h
21. W punktach K i L oddalonych od siebie o 2r znajdują się punktowe masy
mK = m i mL = 10m. Wyznacz, korzystając z rysunku, natężenie pola
grawitacyjnego yA, yB, yc w punktach A, B, C.
a. Odp.
A = 19/9Gm/r2
B=9Gm/r2
c =91/9 Gm/r2
b. b) Wyznacz położenie punktu X leżącego na prostej przechodzącej przez środki ciał, w którym natężenie
pola grawitacyjnego pochodzącego od ciał o masach mK, mL jest równa zeru. Odp.
x = 2r /( (10)1/2 + 1)
c. c) Gdzie na linii łączącej ciała K i L należy umieścić trzecią masę punktową mY = 2m, aby ciało o masie mK
pozostało w spoczynku?
Odp. y = 2r (5)1/2 / 5
22. Trzy jednakowe planety: l, 2, 3 o promieniach R = 3000 km są położone tak, że ich środki wyznaczają wierzchołki
trójkąta równobocznego ABC o boku długości a = 2R.
23. Gęstość każdej planety jest taka sama i wynosi p = 5 • l O3 kg/m3
a. Wykonaj rysunek układu planet. Oblicz wartość natężenia yo i potencjał Vo pola grawitacyjnego w środku trójkąta
ABC utworzonego przez środki planet.
b. Jakie będzie natężenie yA i potencjał VA pola grawitacyjnego w środku jednej z trzech planet? Wykonaj rysunek
wektorów.
c. Oblicz całkowitą pracę W, jaką należałoby wykonać, aby planetę 2. i planetę 3. odsunąć na nieskończenie dużą
odległość od planety l.
24. *W ołowianej kuli o gęstości p = 11,3 • l O3 kg/m3 i promieniu R = 100 cm jest zrobione
kuliste wydrążenie o promieniu rw = 50 cm. Powierzchnia wydrążenia jest styczna do
powierzchni kuli (rys. 1). W punkcie A, który znajduje się w odległości d = 150 cm od
środka ołowianej kuli, umieszczono kulkę o masie m = 100 g. Środki ołowianej kuli,
wydrążenia i kulki o masie m leżą na jednej prostej. Jaką siłą F ołowiana kula przyciąga kulkę o masie m?
25. *Satelita porusza się wokół Ziemi po kołowej orbicie o promieniu r1 = 3R (R – promień Ziemi)
a. Oblicz, o ile trzeba zwiększyć prędkość satelity w danym punkcie orbity, aby zmienić jego orbitę na
eliptyczną o maksymalnej odległości od Ziemi r2 = 6R. (Obliczenie przyrostu prędkości satelity wymaga
znajomości prędkości v na orbicie kołowej oraz prędkości v1 na orbicie eliptycznej w punkcie P (perygeum)).
Odp: v = (GM/r1) (dla orbity kołowej),
v2 = v1/2 (z zasady zachowania momentu pędu dla orbity eliptycznej) v2 - prędkość w apogeum
v1 = 3/2(GM/R) (z zasady zachowania energii dla orbity eliptycznej)
v = [(2-3)/3]*(GM/R)  700 m/s
b. Wyznacz okres obiegu satelity po nowej orbicie
Odp.
T1 = 2*(r13/GM)
z III prawa Keplera T22/T12 = a23/a13 a – średnia odległość satelity od Ziemi a1 = r1 = 3R, a2 = (r1 + r2)/2 =4,5R
T2 = 2*((4,5R)3/GM)  4,8*104s
Przyjmij, że GM = 4*1014 m3/s2, a R = 6,37*106 m