Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład

1
ZMIENNE LOSOWE – ROZKŁADY , CHARATERYSTYKI
Wiadomości podstawowe - Powtórzenie
Definicja 1. (Zmienna losowa) Niech
probabilistyczna ( , S, P). Każdą funkcję:
dana
będzie
przestrzeń
X :     X    R
taką, że zbiór   : X    a jest zdarzeniem losowym dla dowolnej
liczby rzeczywistej a, nazywamy zmienną losową.
Uwaga: Będziemy używać następujących oznaczeń:

 X  a     : X    a

 X  a     : X    a

 a  X  b     : a  X    b
Definicja 2. (Dystrybuanta zmiennej losowej) Dystrybuantą zmiennej
losowej X nazywamy funkcję F, zdefiniowana następująco:
F : x  R  F  x  P X  x  R
Twierdzenie 1. (Własności dystrybuanty) Dystrybuanta dowolnej
zmiennej losowej X ma następujące własności:
D1. 0  F  x   1 dla dowolnej liczby rzeczywistej x;
D2. Dystrybuanta F jest funkcją niemalejącą;
D3. lim F  x   0 i lim F  x   1 ;
x
D4. Dystrybuanta
x
F
jest
funkcją
lewostronnie
lim F  x   F  x0  ;
x x0 
D5. F  x2   F  x1   P  x1  X  x2  dla x1  x2 ;
D6.  lim F  x    F  x0   P  X  x0  dla dowolnego x0
 x x0

ciągłą,
tzn.
2
Twierdzenie 2. (Dystrybuanta-Warunek wystarczający)
Jeżeli funkcja F, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych
spełnia warunki D2, D3 i D4 , to jest ona dystrybuantą pewnej zmiennej
losowej.
Zmienna losowa typu skokowego i jej rozkład
Definicja 3. (Zmienna losowa typu skokowego) Niech funkcja X będzie
pewną zmienna losową. Zmienną losową nazywamy skokową
 jeżeli zbiór wartości W tej zmiennej losowej jest zbiorem
przeliczalnym, czyli daje się przedstawić jako W   xk  R : k  N0  ,
oraz

p
kN0
k
 1, gdzie pk  P  X  xk  .
Rozkładem zmiennej losowej skokowej X nazywamy zbiór par
 x , p  : k  N 
k
k
0
Uwaga : Zostały wcześniej omówione następujące rozkłady zmiennych
losowych typu skokowego:




Rozkład dwupunktowy;
Rozkład dwumianowy
Rozkład geometryczny
Rozkład Poissona
Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład
Definicja 4. (Zmienna losowa typu ciągłego) Niech funkcja X będzie
pewną zmienna losową. Zmienną losową nazywamy ciągłą jeżeli
istnieje funkcja nieujemna i ciągła f zmiennej rzeczywistej, taka że:
 P X  x 
x
 f  t  dt

dla dowolnej liczby x  R oraz
3


 f  t dt  1 (warunek unormowania)

Funkcję f nazywamy funkcją gęstości zmiennej losowej i jest ona
odpowiednikiem rozkładu tej zmiennej w przypadku ciągłym.
Z definicji dystrybuanty F wynika, że w przypadku zmiennej losowej
ciągłej
F  x 
x
 f  t  dt

Twierdzenie 3. (Własności dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej)
Dystrybuanta dowolnej zmiennej losowej ciągłej X ma następujące
własności:
DC1. Dystrybuanta F jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych;
DC2. F   x   f  x 
DC3. F  x0   P  X  x0   P  X  x0  , ponieważ P  X  x0   0
 A  x  12

gdy 0  x  2
Ćwiczenia: 1) Dana jest funkcja f  x   
2
0
gdy x  0 lub x  2

Wyznaczyć a, tak, aby funkcja f była funkcja gęstości zmiennej losowej.
Znaleźć jej dystrybuantę. Policzyć P  X  1 , P  X  1   0,5 .
4
Przekształcenia zmiennej losowej.
Niezależność zmiennych losowych
Twierdzenie 4. Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi, to również następujące
funkcje są zmiennymi losowymi :
X 2,
a) X ,
X+a,
aX,
b) X+Y, XY
Twierdzenie 5. Jeżeli między zmiennymi losowymi zachodzi związek
Y=g(X),
gdzie g jest ciągłym wzajemnie jednoznacznym przekształceniem i
g   x   0 oraz
 h  y   x    g  x   y  tzn. g
1
 h - funkcja odwrotna, to
fY  y   f X  h  y    h  y 
W szczególnym przypadku, jeżeli Y=aX+b, to
fY  y  
1
 y b
fX 

a
 a 

x2
gdy  1  x  2

Ćwiczenia: 2) Dana jest funkcja f  x   
3
0
gdy x  1 lub x  2

Wyznaczyć funkcję gęstości zmiennej losowej Y=-3X+4.
Definicja 5.
 Zmienne losowe X i Y są niezależne jeżeli dla dowolnych
rzeczywistych x i y zdarzenia
 X  x     : X    x i Y  y     : Y    y są niezależne,
czyli P   X  x   Y  y    P  X  x   P Y  y 
 Podobnie definiuje się niezależność dla skończonego ciągu zmiennych
X 1 , X 2 ,..., X n .
 W przypadku ciągu nieskończonego powiemy, że jest on ciągiem
zmiennych niezależnych, gdy każdy skończony podciąg jest ciągiem
zmiennych niezależnych
5
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych
Charakterystyki liczbowe , są to pewne liczby przyporządkowane zmiennym
losowym, które charakteryzują te zmienne pod pewnymi względami. Np.
 Miara położenia –jest to liczba mającą tą własność, że zwiększenie
zmiennej losowej o stałą k, powoduje zwiększenie charakterystyki o tą
sama stałą.
 Miara rozproszenia - jest to liczba mającą tą własność, że zwiększenie
zmiennej losowej o stałą k, nie powoduje zmiany wartości
charakterystyki.
Definicja 6. (Wartość oczekiwana, nadzieja matematyczna, wartość
średnia) Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy miarę
położenia E(X) tej zmiennej zdefiniowana następująco:
a) Jeżeli zmienna X jest typu skokowego, to :
E X  
x
k
pk , pod warunkiem że szereg
kN0

xk pk jest zbieżny.
kN0
b) jeżeli zmienna X jest typu ciągłego, to
EX  

 xf  x dx

przy założeniu że całka


x f  x dx jest zbieżna.

Twierdzenie 6.
Jeżeli między zmiennymi losowymi zachodzi związek Y=g(X), to
b) Jeżeli zmienna X jest typu skokowego, to :
E  g  X  
 gx  p
k
k
, pod warunkiem że szereg
kN0
 gx  p
k
k
jest
kN0
zbieżny.
b) jeżeli zmienna X jest typu ciągłego, to
E  g  X  

 g  x  f  x dx

zbieżna.

przy założeniu że całka
 g  x  f  x dx

jest
6
Twierdzenie 7. Wartość oczekiwana zmiennej losowej, gdzie X, Y są
dowolnego typu ma następujące własności:
a) E(aX)=aE(X)
b) E(X+b)=E(X)+b
c) E(X-E(X))=0
d) E(X+Y)=E(X)+E(Y) , E(X-Y)=E(X)-E(Y)
e) E(XY)=E(X)E(Y)
gdy X i Y są niezależne
Definicja 7. (Wariancja) Wariancją zmiennej losowej X nazywamy miarę
rozproszenia Var(X) ( lub D 2 X
lub  2  X  ) tej zmiennej zdefiniowaną
następująco Var  X   E  X  E  X   :
2
a)Jeżeli zmienna X jest typu skokowego, to :
V ar  X  
 x
k
kN0
 E  X   pk ,
2
b) jeżeli zmienna X jest typu ciągłego, to
Var  X  

  x  E  X   f  x dx
2

Twierdzenie 8. Wariancja zmiennej losowej, gdzie X, Y są dowolnego
typu ma następujące własności:
a) Var(X)  0
b) Var(aX)=a 2Var(X)
c) Var(X+b)=Var(X)
d) Var(X)=E(X2)-(E(X))2
e) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) , Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y), jeżeli zmienne
X I Y są niezależne
Definicja 8. (Odchylenie standardowe) Odchyleniem standardowym
zmiennej losowej X nazywamy miarę rozproszenia D(X) ( lub   X  ) tej
zmiennej zdefiniowaną następująco D  X   Var  X 
7
Analizując definicję wariancji i odchylenia standardowego, widać, że
przyjmują one małe wartości tyko w przypadku gdy wartości zmiennej
losowej niewiele się różnią od wartości oczekiwanej E(X).
W tym sensie wariancja, jak i odchylenie standardowe są miarami
rozrzutu wartości zmiennej losowej X wokół jej wartości oczekiwanej – im
mniejsza wariancja ( odchylenie standardowe) tym rozkład zmiennej
losowej jest bardziej skupiony przy wartości oczekiwanej E(X).
Definicja 8. (Współczynnik zmienności ) Współczynnikiem zmienności
zmiennej losowej X nazywamy
v
D X 
EX 
Definicja 9. (Kwantyle) Kwantylem rzędu p zmiennej losowej ciągłej X
nazywamy miarę położenia xp – jest to liczba spełniająca warunek :
F  x p   p , (war.1)
co jest równoważne warunkom:
P  X  x p   p (war.2) lub inaczej

xp

f  x dx  p (war.3)
Uwaga :
1) Kwantyl rzędu p=0,5 nazywamy medianą i oznaczmy me.
2) Geometrycznie kwantyl xp jest odciętą punktu:
a) przecięcia wykresu dystrybuanty y=F(x) z prostą y=p
b) leżącego na osi Ox , takiego że pole pod krzywą funkcji gęstości


y=f(x) w przedziale , x p równa się p.
Definicja 10. (Moda, dominanta) Modą m0 zmiennej losowej ciągłej X
nazywamy odciętą punktu, w którym funkcja gęstości osiąga maksimum
globalne.
8
a) rozkład jednomodalny
b) rozkład dwumodalny
d) asymetria prawa
f) <a, b> - zbiór median
c) rozkład antymodalny
e) asymetria lewa
a)
b)
Dwa rozkłady o tej samej wartości przeciętnej i wariancji i
a) takich samych współczynnikach zmienności
b) różnych współczynnikach zmienności
9
Podstawowe rozkłady zmiennych losowych ciągłych
A) Rozkład równomierny typu ciągłego (jednostajny, prostokątny)
1) Funkcja gęstości y=f(x):
1
ba
 1
gdy a  x  b

f  x  b  a
 0 dla innych x
2) Dystrybuanta y=F(x)
0 gdy x  a

xa

F ( x)  
gdy a  x  b
b

a

1 gdy x  b

1
Łatwo obliczyć, że
E  X   me 
D(X)=
ab
2
oraz
Var  X  
3 b  a 
ba
, m0(a,b);

6
2 3
1
2
b  a  ;
12
Rozkład ten ma zastosowanie wtedy, gdy prawdopodobieństwo, że
zmienna losowa X przyjmie wartość z przedziału x0 , x0  h  a, b jest
wprost proporcjonalne do długości tego przedziału h , ale nie zależy od
wyboru x0.
B) Rozkład wykładniczy z parametrem  (>0)
Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym opisuje wiele często
spotykanych zjawisk- np. w teorii niezawodności jest modelem dla czasu
bezawaryjnej pracy urządzenia miedzy kolejnymi dwoma uszkodzeniami.
10
 e   x gdy x  0
1) Funkcja gęstości y=f(x): f  x   
x0
 0 dla

1  e   x gdy x  0
2) Dystrybuanta y=F(x): F  x   
x0
 0 dla
EX  
1
Var  X  
1
1)
2
; D(X)=
1
, v=1

Zastosowania rozkładu wykładniczego wynikają, także z następujących
własności:

oraz
 P X  a  b X  a  P  X  b
a ,b0
2) Dla skończonego ciągu zmiennych niezależnych X 1 , X 2 ,..., X n o
rozkładzie wykładniczym z parametrem  zmienna X= X 1  X 2  ...  X n ma
rozkład
 n x n 1   x
e

f  x     n  1!

0 dla

gdy
x0
x0
( rozkład Erlanga)
11
B) Rozkład normalny ( rozkład Gaussa)- N(,)
Jest to najważniejszy i najczęściej występujący rozkład typu ciągłego.
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny N(,) o parametrach
R i R+, jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa dana jest wzorem:
f  x 
1
 2
e
2
x 


2 2
Parametr  - przesunięcia,  - parametr skali.
Wykresem jest krzywa, która nazywamy krzywa Gaussa
E  X    = m0=me
oraz Var  X    ; D(X)=  ,
Twierdzenie 9. Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny
X 
N(,) ,to zmienna losowa Y=
ma rozkład normalny N(0,1).

Nazywamy ją zmienną standaryzowaną. Gęstością tego rozkładu jest
2
x
t2

1
1  x2
e 2 dt
e Dystrybuantą ma postać: F  x  
funkcja :   x  

2 
2
2
12