PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ DWUWYMIAROWEJ

Definicje i twierdzenia do wykładu VI
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE
P( A  B)
, jeśli P ( B )  0 .
P( A | B) 
P( B)
P( A  B)  P( A | B)  P( B) lub P( A  B)  P( B | A)  P( A) .
n
P( A)   P( A | Bi )  P( Bi ) .
i 1
Twierdzenie (wzór Bayes’a)
P( Bk | A) 
P ( A | Bk )  P ( Bk )
.
P( A)
ZMIENNE LOSOWE
FX ( x)  P( X  x)  PX ((, x))  P({; X ( )  x}) .
F ( x) 
 pk ,
x
F ( x) 
xk  x
 f (t )dt .

PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ
Momentem zwykłym rzędu k
  xik  pi
jesli X jest zmienna losowa skokowa
 i
k
mk  E ( X )   
k
jesli X jest zmienna losowa ciagla
  x  f ( x)dx

Momentem centralnym rzędu k
  ( xi  E ( X )) k  pi
jesli X jest zmienna losowa skokowa

i

 k  E ( X  E ( X )) k  
k
jesli X jest zmienna losowa ciagla
  ( x  E ( X ))  f ( x)dx

Własności E(X)
1 E(c)=c dla c  R ,
2 E(aX+b)=aE(X)+b dla a, b  R ,
3 E(X+Y)=E(X)+E(Y),
4 Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to E(XY)=E(X)E(Y).
Własności D2(X)
1 D2(c)=0 dla c  R ,
2 D2(aX+b)=a2D2(X) dla a, b  R ,
3 D2(X+Y)=D2(X)+2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]+D2(Y),
4 Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to D2(X+Y)=D2(X)+D2(Y).
14
Definicje i twierdzenia do wykładu VI
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
WYBRANE ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ
Rozkład jednopunktowy
0, gdy x  x0
,
F ( x)  
1, gdy x  x0
Rozkład dwupunktowy
P(X = xo) = 1,
P(X = x1) = p, P(X = x2) = 1 – p,
mk  x0k ,  2  D 2 ( X )  0 .
gdy
x0
 0,

F ( x)  1  p, gdy 0  x  1
 1,
gdy
x 1

gdzie 0 < p < 1,
mk  p,  2  pq,  3  pq(q  p), gdzie q  1  p.
Jeśli x1= 1 i x2 = 0, to taki rozkład nazywamy rozkładem zero-jedynkowym.
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
n
P( X  k )    p k (1  p) nk , gdzie k = 0, 1, ..., n.,
k 
E ( X )  np, D 2 ( X )  npq,
Uwaga:
 3  npq(q  p), gdzie q  1  p.

Jeżeli zmienne losowe X 1 , X 2 ,..., X n ~ 0  1 p  , to X  i 1 X i ~ Bin n, p ,

Dla dużych n i małych p rozkład dwumianowy może być aproksymowany granicznym rozkładem
iid
n
Poissona z parametrem   np . Im większe n i mniejsza wartość  tym przybliżenie rozkładu
jest lepsze:

Jeżeli X n ~ Bin n, p n  oraz n   tak, że lim np n    const.   0 , to
n 

 Poiss   .
rozkład Bin n, pn  n

Dla dużych n rozkład dwumianowy może być aproksymowany rozkładem normalnym z
parametrami   np,   npq . Przybliżenie jest tym lepsze, im większe n i p  0,5 .
Rozkład geometryczny
P( X  k )  p(1  p) k 1 , gdzie k = 1, 2, 3, ...
1
q
q(2  p)
E( X )  , D 2 ( X )  2 , 3 
, gdzie q  1  p.
p
p
p3
Rozkład Poissona
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem   0 tj. X ~ Poiss  , gdy:
P X  x  
x
x!
e ,
x  0,1,2,....
EX  D 2 X   3   .
Wnioski:
o Rozkład Poissona z parametrem  może być aproksymowany przez graniczny rozkład normalny z
parametrami    ,    . Przybliżenie jest tym lepsze, im większe  .
15
Definicje i twierdzenia do wykładu VI
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
WYBRANE ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ
Rozkład jednostajny (równomierny, prostokątny)
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny określony na przedziale a, b , o funkcji gęstości f x  i
dystrybuancie F x  tj. X ~ J a, b :
 1

f x    b  a

 0
a xb
dla
dla a  x lub
xb
,
 0
x  a
F x   
b  a
 1
dla
xa
dla
a xb
dla
xb
b  a  .
ab
, D2 X 
12
2
2
EX 
Rozkład wykładniczy
 0
f ( x)  
x
  e
dla
x0
dla
x0
 0
F ( x)  
x
1  e
,
dla
x0
dla
x0
, E( X ) 
1

,
D2 (X ) 
1
2
.
Rozkład normalny
 (x  )2 
1
exp 
 , x  R ,   R ,  > 0, F ( x) 
2
2
 2
 2


4
2
2
E ( X )   , D ( X )   , 3   3  0,  4  3 ,  4  3 .
f ( x) 
1
Jeśli X ~ N (  , ), to Z 
X 

 (t   ) 2 
exp
  2 2 dt , x  R .

x
~ N (0,1) .
Rozkład normalny standaryzowany
Zmienna losowa X ma rozkład normalny standaryzowany tj. X ~ N 0,1 , gdy:
 x2 
f X x  
 exp   ,
x  IR ,
EX  0 , D 2 X  1 ,  3   3  0 ,  4  3 ,  4  3.
2
 2 
Uwaga:
o Standaryzowany rozkład normalny to rozkład normalny z parametrami   0 i   1.
X 
~ N 0,1 .
o (Twierdzenie) Jeżeli X ~ N  ,   , to Z 

iid
X 
~ N 0,1 .
o Jeżeli X 1 , X 2 ,..., X n ~ N  ,   , gdzie  nieznane ,  znane, to
1

n
Rozkład logarytmiczno-normalny
16
Definicje i twierdzenia do wykładu VI
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
E( X )    q
Var ( X )   2  q  (1  q)   2  q
E ( X )   k  qk
k
Var ( X )   k  qk  (1  qk )   k  qk
2
2
k
EX   nk EX k   nk   k  qk
k
VarX   nkVarX k
k

k
VarX   nk  k  qk  (1  qk )   k  qk
2
2

k
Kolektywny model ryzyka
S  i 1 X i
N
X i , N wzajemnie niezależne
E ( S )  EX  EN
D 2 ( S )  E N   D 2  X   D 2 N   EX 
2
Współczynnik zmienności łącznej szkody
V
17
D( S )
E (S )