Sześcian sumy i różnicy Suma i różnica sześcianów

•Sześcian sumy i
różnicy
•Suma i różnica
sześcianów
•Interpretacja geometryczna sześcianu sumy
•Przykład
•Ćwiczenia
Wzór na sześcian sumy ma ładną interpretację graficzną.
Objętość sześcianu o krawędzi długości równej sumie
długości odcinków o długościach a i b wyraża lewa strona
3
wzoru: (a  b)
Zaznaczone płaszczyzny dzielą sześcian na: dwa sześciany o
objętościach równych a 3 i b 3
trzy prostopadłościany o objętościach równych a 2b każdy:
i trzy prostopadłościany o objętościach równych ab2 każdy:
Suma tych objętości jest więc prawą stroną naszego wzoru na sześcian sumy:
a3  3a 2b  3ab2  b3
Sześcian sumy liczb
•(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
na przykład: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3×1002 + 3×100 + 1 =
= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301
•nie zachodzi równość: (a+b)3 = a3 + b3
na przykład 125 = (3+2)3
33 + 23 = 35
•uzasadnienie wzoru przez rachunek:
(a + b)3 = (a + b) × (a + b) × (a + b) = mnożymy każdy wyraz przez każdy inny
= (aa + ab + ba + bb) × (a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Sześcian różnicy liczb
•(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
na przykład: 993 = (100-1)3 = 1003 - 3×1002 + 3×100 - 1 =
= 1000000 - 30000 + 300 - 1 = 970299
Oblicz sześciany sum i różnic ( x, y należy do zbioru liczb rzeczywistych)
a) (x  1)3
b) (2  y )3 gdzie : y  0
 z 1
c)   
 2 3
d)

3
x y
2 1
e)

3 gdzie : x, y  0
3
f ) 2 3 3 2
3
Rozwiązanie
a) x3  3 y 2  3 x  1
b) 8  12 y  6 y  y y gdzie : y  0
1
z3 3 2 3
 z  z
c)
27
18
8 16
d ) x x  3 x y  3 x y  y y gdzie : x, y  0
e)

3 
2 1
2 2  6  3 2 1  5 2  7
f ) 24 3  108 2  108 3  54 2  132 3  162 2
Jeśli przemnożymy przez siebie sumę dwóch liczb rzeczywistych przez
niepełny kwadrat różnicy takich samych liczb (bez liczby 2 we wzorze)
to otrzymamy:
a  b  a 2  ab  b2   a3  a 2b  ab2  a 2b  ab2  b3  a3  b3


Podobnie gdy przemnożymy przez siebie różnicę dwóch liczb rzeczywistych przez
niepełny kwadrat sumy takich samych liczb (bez liczby 2 we wzorze) to otrzymamy:
a  b  a 2  ab  b2   a3  a 2b  ab2  a 2b  ab2  b3  a3  b3


W ten oto sposób wyprowadziliśmy dwa zgrabne wzory na
sumę i różnicę sześcianów dwóch liczb rzeczywistych:
Przykłady
a3 b3  a b    a 2 ab  b 2 


Ćwiczenia
Suma sześcianów liczb
a3 + b3 = (a + b)×(a2 - ab + b2)
uzasadnienie wzoru przez rachunek (mnożymy każdy wyraz
przez każdy inny):
(a + b)×(a2 - ab + b2) = aa2 - aab + ab2 + ba2 - bab + bb2= a3 - a2b
+ ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3
Różnica sześcianów liczb
a3 - b3 = (a - b)×(a2 + ab + b2)
uzasadnienie wzoru przez rachunek (mnożymy każdy wyraz
przez każdy inny):
(a - b)×(a2 + ab + b2) = aa2 + aab + ab2 - ba2 - bab - bb2 = a3 +
a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3
Przedstaw wyrażenie w postaci iloczynowej korzystając ze wzorów na sumę lub różnicę
sześcianów:
a) x3  8
b) 2 2  y 3
c)125  z z gdzie z  0
d ) x  27
1
1
e) 
8 2 2
f )a b
g ) x 1
Rozwiązanie
a ) a 3  23   x  2  x 2  2 x  4 


3
b) 2  y 3  2  y  2  2 y  y 2 


3
3

z
c) 5
 5  z 25  5 z  z gdzie : z  0





3
 2

d )3 x  33   3 x  33 x  9 


3
3
1
1
2 2 9 2 4
 1 1  1
1  1 
e)    
 

  
 
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
12 2
  




3 3 3 3
3
3 
3
f ) a  b  a  3 b  a 2  3 ab  b 2 


3
g ) 6 x  13  6 x  1 3 x  6 x  1




