Etap III
advertisement
XVI edycja
Międzynarodowego Konkursu Matematycznego
„PIKOMAT”
rok szkolny 2007/2008
Etap III
Klasa IV
Zadanie 1
W pewnej klasie piątej jest 30 uczniów. Wśród nich jest 5 takich, którzy mają brata i siostrę,
oraz 7 takich, którzy nie mają brata ani siostry. Ilu uczniów tej klasy ma siostrę, jeżeli
wiadomo, że 15 ma brata?
Zadanie 2
W pola każdego z kwadratów 2 × 2 wpisano liczby 1, 2, 3, 4 tak, że suma liczb wpisanych
w białe kwadraty wynosi 28. Jakie liczby znajdują się w polach zacieniowanych?
Zadanie 3
Usuń 6 żetonów z planszy (rys.) tak, aby w każdym rzędzie pionowym i poziomym pozostała
parzysta liczba żetonów.
Zadanie 4
Prostokąt o wymiarach 4 × 8 wypełnij 8 puzzlami o jednakowym kształcie.
Klasa V
Zadanie 1
W miejsce ☼ wpisz cyfry ze zbioru {2,3,4,5,6}, każdą dwukrotnie, aby otrzymać prawdziwą
równość.
☼
0
☼ ☼
0
☼ ☼ ☼
+
☼ ☼ ☼ ☼
4
6
6
6
Zadanie 2
Poniższy rysunek przedstawia puzzla o powierzchni 5 kwadracików.
Załóżmy, że dysponujesz dużą liczbą takich, o jednakowym kształcie i powierzchni, puzzli.
Ułóż z nich dowolny prostokąt – taki jednak, by liczba użytych puzzli była nieparzysta.
Puzzle możesz „odwracać na druga stronę”, jeżeli będzie taka potrzeba. Swoje rozwiązanie
zilustruj odpowiednim rysunkiem. Jaka jest najmniejsza nieparzysta liczba puzzli, z której
można ułożyć prostokąt?
Zadanie 3
Pięcioro rodzeństwa bawiło się na działce rekreacyjnej mającej kształt kwadratu o wymiarach
20 m × 20 m, którego środek zajmuje niewielkie źródełko. Postanowili oni podzielić tę
działkę na 5 części tak, aby części były równe pod względem powierzchni i każda z nich
miała dostęp do źródełka. Jak rodzeństwo rozwiązało powyższy problem?
Zadanie 4
Ala kupiła w sklepie 42 koperty: 15 białych po 16 gr, 7 żółtych po 28 gr, 12 błękitnych
i 8 zielonych. Otrzymała rachunek 8 zł 90 gr. Ala wprawdzie nie pamiętała ceny koperty
błękitnej i ceny koperty zielonej, wiedziała jednak, ile tych kopert kupiła. Na tej podstawie od
razu stwierdziła błąd w rachunku i powiedziała o tym sprzedawcy. Sprzedawca jeszcze raz
przeliczył sumę, przeprosił Alę i poprawił rachunek. Jaki Ala znalazła błąd w rachunku?
Klasa VI
Zadanie 1
W każdy kwadrat wpisz liczbę mniejszą od 20 w taki sposób, aby suma liczb w każdym
z czterech kół była podzielna przez 4.
Zadanie 2
Ile wynosi pole czworokąta KLMN powstałego w wyniku przedłużenia boków
zacieniowanego prostokąta o polu 2, w taki sposób, że długości tych boków zwiększyły się
trzykrotnie ?
N
M
K
L
Zadanie 3
Wzdłuż alei parkowej rośnie 5 drzew. Na drzewach siedzą ptaki. W pewnej chwili
z pierwszego drzewa 1 ptak przeleciał na drugie drzewo, a po pewnym czasie 2 ptaki
z drugiego drzewa przeleciały na trzecie, a potem kolejno: 3 ptaki z trzeciego drzewa na
czwarte, 4 ptaki z czwartego na piąte i 5 ptaków z piątego drzewa na pierwsze i wtedy
okazało się, że na każdym drzewie jest tyle samo ptaków. Wiedząc, że ptaków było razem
mniej niż 30, oblicz ile ptaków siedziało na początku na każdym drzewie.
Zadanie 4
Marta ze wszystkich 28 kamieni domina ułożyła kwadratową ramkę (kamienie były
przyłożone do siebie zgodnie z przepisami gry). Suma oczek wzdłuż każdego boku ramki
Marty wynosiła 44. Jak wyglądała ramka Marty?
Klasa I
Zadanie 1
Pan Stanisław ma czterocyfrowy PIN dostępu do swojego konta bankowego przy użyciu karty
płatniczej. Każda z cyfr tego numeru jest inna. Jego syn Janek zapisał ten PIN w sposób
szczególny – bo następującym szyfrem:
1911
0265
7004
6257
0735
5839
Jaki jest numer PIN pana Stanisława, jeżeli wiadomo, że w każdej z sześciu powyższych liczb
występuje jedna i tylko jedna cyfra z numeru PIN oraz cyfra ta znajduje się na tym samym
miejscu, co w numerze PIN?
Zadanie 2
W ośmiokącie foremnym ABCDEFGH połączono środki boków BC, DE, FG, HA. Jaką
częścią pola ośmiokąta jest pole otrzymanego czworokąta?
Zadanie 3
Oto komplet 12 kamieni łamigłówki pentomino:
Wypełnij poniższą tablicę 6 × 10, z wpisanymi w nią cyframi, wszystkimi kamieniami
pentomina w taki sposób, by suma cyfr, które przykrywa każda z części pentomina, wynosiła
20.
4
3
2
6
5
4
5
6
4
5
7
3
2
3
4
2
3
1
8
4
4
6
4
7
1
8
2
4
4
5
4
2
3
3
2
3
4
5
6
2
7
3
3
2
1
8
6
5
7
5
3
3
2
3
2
4
4
3
7
2
Zadanie 4
W sklepie zoologicznym są papużki, kanarki, chomiki i białe myszki, różne liczby sztuk
każdego gatunku. Suma wszystkich głów i nóg jest mniejsza od 100, przy czym nóg jest
3 razy więcej niż głów. Cena jednej sztuki odpowiada liczbie sztuk danego gatunku,
natomiast średnia cena jednej sztuki w hodowli równa się cenie papużki. Ile papużek,
kanarków, chomików i białych myszek jest w sklepie zoologicznym, jeżeli wiadomo, że
chomików jest więcej niż białych myszek, zaś kanarków jest 3 razy mniej niż chomików?
Klasa II
Zadanie 1
Pan Antoni musi być w Bielsku-Białej w bardzo ważnej sprawie punktualnie o godzinie
12.00. Jeżeli będzie jechał swoim samochodem z prędkością 70 km/h, to dotrze do BielskaBiałej wcześniej o połowę czasu, o który spóźniłby się, gdyby jechał z prędkością 40 km/h.
Z jaką prędkością powinien jechać pan Antoni, by w Bielsku-Białej być punktualnie?
Zadanie 2
Kacper, Marian, Darek i Józek są kolegami. Wiadomo, że Józek jest dwukrotnie starszy od
szatyna. Kacper jest o 12 lat młodszy od blondyna. Marian jest o 7 lat starszy od Kacpra.
Darek jest o 8 lat młodszy od rudowłosego. Ponadto wiadomo, że blondyn nie jest najstarszy.
Ile lat ma brunet i kto jest rudowłosym?
Zadanie 3
Liczbę 165 zapisz w postaci sumy dwóch lub większej liczby kolejnych liczb naturalnych.
Zadanie 4
Marek wśród wszystkich trójkątów prostokątnych wyznaczył te, których długości boków są
liczbami naturalnymi i obwód trójkąta jest równy jego polu. Jakie trójkąty wyznaczył Marek?
Klasa III
Zadanie 1
Dany jest równoległobok ABCD. Połącz wierzchołki tego równoległoboku ze środkami
boków nie wychodzących z danego wierzchołka. Jaką częścią pola równoległoboku jest pole
otrzymanego ośmiokąta wypukłego?
Zadanie 2
Ile maksymalnie boków może mieć wielokąt narysowany na kwadratowej siatce wyznaczonej
przez układ punktów n × n, gdzie n 4? Wierzchołkami wielokąta mogą być tylko punkty
siatki.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
itd.
Zadanie 3
Wyznacz wszystkie liczby naturalne n takie, aby liczby n + 1 i n –110 były kwadratami liczb
naturalnych.
Zadanie 4
Janek ma wyznaczyć objętość butelki o płaskim dnie, która jest częściowo napełniona cieczą
(rys.), używając tylko linijki. Jak ma to zrobić, jeżeli wylewanie lub też wlewanie cieczy do
butelki jest niedozwolone?
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Marta Kądziołka, Katarzyna Sikora