Kwadraty magiczne

Kwadraty magiczne
Autorzy:
Magda Jóźwik
Adrianna Prokop
Kwadraty magiczne znane były Chińczykom i Hindusom przed paru
tysiącami lat. Spotyka się amulety chińskie z kwadratami magicznymi,
na których jeszcze nie ma cyfr, lecz są odpowiednie ilości nakłuć
lub wydrążeń. Znane one były również Arabom w IX wieku naszej ery.
Do Europy zaś wprowadził je, a przynajmniej pierwsze zasady ich zestawień
wskazał Europejczykom, pewien Grek imieniem Moscopulos, który żył
w Konstantynopolu w początkach XV stulecia.
Kwadraty magiczne są to kwadraty rozbite na pewną ilość
mniejszych kwadracików, czyli pól, w których liczby wypisuje się w ten
sposób, że suma liczb w każdym poziomym rzędzie, w każdej pionowej
kolumnie i na obu przekątnych jest taka sama.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Przedstawiony kwadrat
znany był w Chinach już
około 2200 roku p.n.e.
Suma liczb w kolumnach, wierszach i na obu przekątnych wynosi
w tym kwadracie magicznym 15.
Najbardziej historycznym kwadratem magicznym w Europie nazwać
można bez wątpienia ten, który widnieje na jednym z arcydzieł pędzla
Albrechta Dürera zatytułowanym „Melancholia”. Jest to kwadrat złożony
z 16 pól, a zestawiony tak pomysłowo, że dwie środkowe liczby dolnego rzędu
dają rok powstania dzieła - 1514.
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Kwadrat nad
skrzydłem anioła
Kwadraty magiczne mają bardzo ciekawe właściwości:
• Jeżeli wszystkie liczby, jakie zawiera kwadrat magiczny powiększymy
lub zmniejszymy o jedną i tę samą liczbę to kwadrat pozostanie
magiczny.
Np. Do każdej
liczby
w kwadracie:
2
9
4
7
5
3
6
1
8
dodajemy
po 17
i
otrzymujemy
kwadrat:
19
26
21
24
22
20
23
18
25
W pierwszym kwadracie suma magiczna, czyli suma liczb
poszczególnych rzędów, kolumn oraz przekątnych, wynosi 15; w drugim
kwadracie dodajemy do każdej liczby po 17 i suma magiczna wynosi:
15  317  66
• Jeżeli pomnożymy lub podzielimy wszystkie jego składniki przez jakąś
liczbę to kwadrat pozostanie również magiczny.
Np. każdą
liczbę
w kwadracie
19
26
21
24
22
20
23
18
25
mnożymy
przez 2
i
otrzymujemy
kwadrat:
38
52
42
48
44
40
46
36
50
• Z dwóch kwadratów możemy otrzymać trzeci kwadrat magiczny przez
sumowanie liczb stojących w analogicznych polach:
2
9
4
7
5
3
6
1
8
+
19
26
21
24
22
20
23
18
25
=
21
35
25
31
27
23
29
19
33
Suma magiczna takiego kwadratu równa się sumie sum
magicznych obu składników, czyli 15 + 66 = 81.
• Kwadrat pozostaje kwadratem magicznym jeżeli poprzestawiamy
jego kolumny oraz szeregi leżące symetrycznie względem środka
kwadratu.
Na przykład:
14
7
1
12
12
7
1
14
5
10
16
9
4
6
15
15
4
6
9
15
4
6
8
13
11
2
2
13
11
8
2
13
11
8
3
10
16
5
5
10
16
3
12
7
1
14
3
9
W pierwszym z tych kwadratów przestawiliśmy kolumny
pierwszą i czwartą; powstał kwadrat drugi, w którym zachowała się
suma wyrazów w każdym wierszu i w każdej kolumnie, ale nie
zachowała się suma na przekątnych. Jeśli teraz w drugim kwadracie
przestawimy wiersze pierwszy i czwarty, to otrzymamy kwadrat
trzeci, już doskonale magiczny.
• Suma magiczna każdego kwadratu zestawionego z ciągu arytmetycznego,
czyli ciągu kolejnych liczb różniących się między sobą o tę samą liczbę
równa się połowie sumy pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożonej przez
liczbę podziałek boku kwadratu.
Przykładem takiego kwadratu jest:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Składa się on z odpowiednio ustawionych liczb od 1 do 9 (zatem
ustawione rosnąco różnią się między sobą o 1). Wykorzystując
wymienioną własność możemy obliczyć sumę:
1
 (1  9)  3  15
2
Istnieją kwadraty, w których możemy mówić o iloczynie
magicznym. Kwadrat taki jest zbudowany z liczb naturalnych, tak,
że każda z tych liczb jest większa od poprzedniej tyle samo razy, jeśli
zostaną one ustawione rosnąco. Przykładem takiego kwadratu jest
poniższy:
2
256
8
64
16
4
32
1
128
Iloczyn liczb zapisanych w każdej z kolumn, każdym z wierszy
oraz na każdej przekątnej wynosi 4096.