Własności figur geometrycznych – zadania ćwiczeniowe 1. Dane są

Własności figur geometrycznych – zadania ćwiczeniowe
1. Dane są dwa kąty przyległe, z których jeden jest o 38 większy od drugiego. Kąty te mają miary:
a) 71 i 109
b)
38 i 142
c)
26 i 64
d)
38 i 76
2. Figurą wypukłą i nieograniczoną jest:
a) odcinek
b)
koło
c)
okrąg
d)
kąt o mierze 175
3. Figurą wklęsłą i ograniczoną jest:
a) odcinek
b)
koło
c)
okrąg
d)
kąt o mierze 270
4. Rozpatrujemy cztery figury:
I. kąt ostry
II. prosta
III. koło
IV. okrąg
Figurami wypukłymi są:
a)tylko figury I i III
b)tylko figury I, III i IV
c)figury I, II, III, IV
d)tylko figury I, II, III
5. Punkt C należy do odcinka DE. Środkiem odcinka DC jest punkt A, zaś środkiem odcinka CE jest punkt B.
Odcinek DE ma długośd 34 cm. Zatem długośd odcinka AB jest równa:
a) 17 cm
b)
34 cm
c)
18 cm
d)
8,5 cm
6. Punkt C dzieli odcinek AB długości 48 cm na dwa odcinki, których stosunek długości jest równy
AC : BC = 3 : 5. Z tego wynika, że:
a) AC = 30 cm i BC = 18 cm
b)
AC = 20 cm i BC = 28 cm
c) AC = 18 cm i BC = 30 cm
d)
AC = 28 cm i BC = 20 cm
7. Kołem o środku w punkcie O i promieniu długości r nazywamy:
a) zbiór punktów płaszczyzny, których odległośd od punktu O jest nie mniejsza od r
b) zbiór punktów płaszczyzny, których odległośd od punktu O jest równa r
c) zbiór punktów płaszczyzny, których odległośd od punktu O jest nie większa od r
d) zbiór punktów płaszczyzny, których odległośd od punktu O jest większa od r.
8. Okręgiem o środku w punkcie O i promieniu długości r nazywamy:
a) zbiór punktów płaszczyzny, których odległośd od punktu O jest nie mniejsza od r
b) zbiór punktów płaszczyzny, których odległośd od punktu O jest równa r
c) zbiór punktów płaszczyzny, których odległośd od punktu O jest nie większa od r
d) zbiór punktów płaszczyzny, których odległośd od punktu O jest większa od r.
9. W trójkącie prostokątnym jeden kąt ostry jest o 18 mniejszy od drugiego. Kąty ostre trójkąta mają
miary:
a) 36 i 54
b)
18 i 72
c)
27 i 63
d)
31 i 49
10. Na rysunku obok kąt ABC ma miarę:
a)13
b) 87c)30
d) 40
11. Dane są trzy trójkąty:
Trójkąty przystające są na rysunkach:
a) tylko na I i II b)
tylko na II i III
c)
tylko na I i III
d)
na I, II i III.
12. W trójkącie prostokątnym równoramiennym długośd wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną
długości a jest równa:
a
a
2a
a)
b)
a
c)
d)
2
2
13. Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia:
a)wysokości
b)środkowych
c)dwusiecznych kątów
d)symetralnych boków tego trójkąta
14. Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia:
a)wysokości
b)środkowych
c)dwusiecznych kątów
d)symetralnych boków tego trójkąta
15. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długośd 2 cm. W trójkąt wpisano
okrąg. Punkt styczności D okręgu z ramieniem AC dzieli to ramię na dwa odcinki, których długości
pozostają w stosunku AD : DC = 2 : 3. Obwód tego trójkąta jest równy:
a) 12 cm
b)
9 cm
c)
8 cm
d)
7 cm
1
16.W trójkącie ABC na rysunku obok DB = 1 cm,
7
AD = 14 cm. Odcinek CD ma długośd:
a) 7 cm b)
6 cm c)
5 cm
d)
4 cm
17. W trójkącie równoramiennym ABC boki mają długośd: AB = 10 cm, AC| = BC| = 13 cm.
a) Sprawdź, czy jest to trójkąt ostrokątny, czy rozwartokątny.
b) Oblicz długośd wysokości tego trójkąta poprowadzonej na podstawę AB.
c) Wyznacz długośd promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
d) Oblicz odległośd środka okręgu z punktu c) od podstawy AB.
18. W trójkącie równoramiennym ABC boki mają długośd: AB = 30 cm, AC = BC| = 17 cm.
a) Sprawdź, czy jest to trójkąt ostrokątny, czy rozwartokątny.
b) Oblicz długośd wysokości tego trójkąta poprowadzonej na podstawę AB.
c) Wyznacz długośd promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt
d) Podaj odległośd środka okręgu z punktu c) od wierzchołka C.
19. W trójkącie prostokątnym ABC punkt D jest środkiem przeciwprostokątnej AB. Punkt E należy do
przyprostokątnej CB oraz ED  CB.
a) Wykaż, że trójkąty CDE i BDE są przystające.
b) Wiedząc dodatkowo, że ED = 6 cm i CD = 6,5 cm, oblicz długośd boków trójkąta ABC.
20. W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest o 3 cm krótsza od przeciwprostokątnej. Druga
przyprostokątna ma długośd 9 cm. Oblicz:
a) obwód trójkąta
b) długośd promienia okręgu opisanego na tym trójkącie
c) długośd promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt
d) odległośd punktu przecięcia środkowych trójkąta od wierzchołka kąta prostego.
21. W trójkącie równoramiennym ABC mamy AC| = BC|. Wysokośd AD podzieliła ramię BC trójkąta na
odcinki długości: BD = 3 cm, DC| = 7 cm. Oblicz:
a) długośd podstawy AB
b) długośd wszystkich wysokości tego trójkąta.
22. Proste k, l są równoległe. Wykorzystując dane
na rysunku obok, oblicz miary kątów α, β, γ, δ.
23. W pewnym wielokącie foremnym kąt wewnętrzny ma miarę 140.
a) Ile boków ma wielokąt?
b) Ile przekątnych ma ten wielokąt?
24. W pewnym wielokącie wypukłym liczba przekątnych jest 6 razy większa od liczby boków.
a) Ile boków ma ten wielokąt?
b) Oblicz sumę kątów wewnętrznych tego wielokąta.
25. Ile przekątnych ma wielokąt, w którym suma miar kątów wynosi 2700?
26. Wysokości trójkąta równobocznego ABC przecinają się w punkcie D.
a) Oblicz długośd odcinka AD, jeśli wiadomo, że │AB│=5.
b) Jaka jest odległośd punktu D od prostej BC, jeśli │BC│=10?
c) Jaka jest odległośd punktu D od boku AB, jeśli │DC│=12?
d) Jaką długośd ma promieo okręgu opisanego na tym trójkącie jeśli │AB│=8?
e) Jaką długośd ma promieo okręgu wpisanego w ten trójkąt jeśli Odległośd punktu D od wierzchołka
trójkąta wynosi 9?
27.
W pewnym trójkącie symetralna jednego boku zawiera wysokośd tego trójkąta. Jaki to trójkąt?
Odpowiedź uzasadnij.
28.
W pewnym trójkącie dwie symetralne są równoległe do odpowiednich dwóch boków. Jaki to
trójkąt?
29.
W trójkącie prostokątnym symetralna przeciwprostokątnej przechodzi przez wierzchołek kąta
prostego. Oblicz miary kątów ostrych tego trójkąta.
30.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długośd 2 cm i 6 cm. Oblicz stosunek długości
odcinków, na jakie symetralna przeciwprostokątnej podzieliła dłuższą przyprostokątną tego trójkąta.
31.
W trójkącie prostokątnym ABC ( ∢𝐶𝐴𝐵 = 90°) bok AB ma długośd 42 cm. Odcinek DE symetralnej
boku AB, zawarty w trójkącie ABC, ma długośd 28 cm. Oblicz długości boków AC i BC.
32.
Symetralne boków trójkąta prostokątnego przecinają się w punkcie odległym od wierzchołka kąta
prostego o 5 cm. Wiedząc, że długości przyprostokątnych pozostają w stosunku 3:4, oblicz długości
boków trójkąta.
33.
W trójkącie prostokątnym wysokośd poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła
przeciwprostokątną na odcinki długości 1 cm i 9 cm. O ile centymetrów odcinek symetralnej
przeciwprostokątnej zawarty w trójkącie jest krótszy od tej wysokości?
34.
Symetralna boku AB trójkąta ABC przecina bok BC w punkcie K, przy czym odcinek BK ma długośd 5
cm. Jaką długośd ma odcinek AK? Odpowiedź uzasadnij.
35.
W trójkącie o kątach 20°, 60°, 100° poprowadzono dwusieczne tych kątów. Oblicz miary kątów
powstałych w ten sposób sześciu trójkątów.
36.
W trójkącie ABC prowadzimy dwusieczne kątów B i C, które przecinają się w punkcie S. Wykaż, że
trójkąt CBS jest rozwartokątny.
37.
Wykaż, że w trójkącie ABC kąt między wysokością opuszczoną z wierzchołka A i dwusieczną kąta A
równa się połowie różnicy kątów: ∢𝐵 i ∢𝐶.
38.
W trójkącie równoramiennym ABC, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 oraz ∢𝐵𝐴𝐶 = 36°. Wykaż, że dwusieczna kąta
przy podstawie dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne.
39.
Oblicz kąty trójkąta równoramiennego ABC, w którym 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 , a dwusieczna AD tworzy z
bokiem BC kąt 120°.
40.
O pewnym trójkącie wiadomo, że dwusieczne dwóch jego kątów zawierają wysokości tego trójkąta.
Jaki to trójkąt? Odpowiedź uzasadnij.
41.
W trójkącie ABC dwusieczna AD kąta A jest równa bokowi AB. Wyznacz : ∢𝐵 i ∢𝐶 wiedząc, że
∢𝐴 = 108°.
42.
Dwusieczne kątów przyległych do boku AB trójkąta ABC przecinają się w punkcie K. Odległośd
punktu K od odcinka AB wynosi 3 cm. Jaka jest odległośd punktu K od odcinka AC? : Odpowiedź
uzasadnij.
43.
Jaką miarę ma kąt rozwarty między dwusiecznymi kątów ostrych w trójkącie prostokątnym?
44.
W trójkącie równoramiennym dwusieczne równych kątów przecinają ramiona trójkąta pod kątem
120°. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Rozważ dwa przypadki.