Zadania z mechaniki kwantowej 1

Zadania z mechaniki kwantowej 1
Marek Czachor
Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Kwantowej
Politechnika Gdańska, Narutowicza 11/12, 80–952 Gdańsk, Poland
Zad. 1 Utworzyć projektory rzutujące na wektory
( )
1
|1⟩ =
i
Obliczyć wartość średnią kwantowych zmiennych losowych â oraz sin â w stanie |ψ⟩.
Zad. 7 Rozwiązać zagadnienie własne dla macierzy
oraz |2⟩, gdzie |2⟩ jest dowolnym wektorem prostopadłym
do |1⟩.
(
b̂ =
Zad. 2 Napisać jawną postać macierzową operatora
−1 2i
−2i 2
)
Znaleźć postać spektralną
â = 3π1 + 7π2
gdzie π1 , π2 , są projektorami z Zad. 1.
b̂ = b1 πb1 + b2 πb2
(1)
Zad. 3 Napisać równanie charakterystyczne dla macierzy
â z Zad. 2 i pokazać, że 3 i 7 są jego pierwiastkami.
Obliczyć e−3ib̂ . Obliczyć b̂3 na dwa sposoby: Jako b̂b̂b̂ oraz
Zad. 4 Napisać układ równań odpowiadający zagadnieniom własnym
b̂3 = b31 πb1 + b32 πb2
â|3⟩ = 3|3⟩,
â|7⟩ = 7|7⟩,
Zad. 8 Niech
dla macierzy â z Zad. 2. Znaleźć jego ogólne rozwiązanie
i projektory rzutujące na wektory własne (muszą wyjść
takie same jak w Zad. 1).
2
3
100
(
|ψ⟩ =
i
−2
)
b̂|b2 ⟩ = b2 |b2 ⟩,
5iâ
Zad. 5 Obliczyć macierze â , â , â , cos â, e . Pokazać,
że e5iâ jest unitarna (pokazać to na dwa sposoby, w tym
używając jawnej postaci macierzowej).
Zad. 6 Niech
b̂|b1 ⟩ = b1 |b1 ⟩,
gdzie |b1 ⟩, |b2 ⟩ są unormowane. Niech
|ϕ⟩ = |b1 ⟩ + |b2 ⟩.
Obliczyć prawdopodobieństwa pb1 i pb2 w stanie |ϕ⟩.
(2)