Konsekwencje zasady istnienia kresów

Konsekwencje zasady istnienia kresów
Zbiór liczb naturalnych
Niech N oznacza rodzinę podzbiorów A ⊂ R o następujących
własnościach:
1. 1 ∈ A;
2. jeśli n ∈ A, to n + 1 ∈ A.
Definicja
N :=
\
A∈N
A
Konsekwencje zasady istnienia kresów
Zbiór liczb naturalnych
Niech N oznacza rodzinę podzbiorów A ⊂ R o następujących
własnościach:
1. 1 ∈ A;
2. jeśli n ∈ A, to n + 1 ∈ A.
Definicja
N :=
\
A
A∈N
Twierdzenie (Zasada indukcji zupełnej)
Jeśli zbiór A jest elementem rodziny N oraz A ⊂ N, to A = N.
Konsekwencje zasady istnienia kresów
Zbiór liczb naturalnych
Twierdzenie
Zbiór N nie jest ograniczony z góry.
Konsekwencje zasady istnienia kresów
Zbiór liczb naturalnych
Twierdzenie
Zbiór N nie jest ograniczony z góry.
Wniosek
inf
1
;n∈N
n
=0
Konsekwencje zasady istnienia kresów
Funkcja Entier, E : R → R
Twierdzenie
Dla dowolnego elementu x ∈ R istnieje dokładnie jedna liczba całkowita
k, taka że k ≤ x < k + 1.
Konsekwencje zasady istnienia kresów
Funkcja Entier, E : R → R
Liczbę k, o której mówi powyższe twierdzenie nazywa się częścią
całkowitą liczby x i oznacza się E (x) lub [x].
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
3
Konsekwencje zasady istnienia kresów
Gęstość Q w R
Twierdzenie
Każdy przedział (α, β) ⊂ R zawiera liczbę wymierną.
Konsekwencje zasady istnienia kresów
Własność ”Cantorowska” przekroju
Twierdzenie (Ascoliego)
∞
Niech In := [an , bn ] i załóżmy że ciąg {In }n=1 jest zstępujący, tzn.
In+1 ⊂ In . Wówczas
∞
\
In 6= ∅.
n=1
Konsekwencje zasady istnienia kresów
Istnienie pierwiastka arytmetycznego
Twierdzenie
Niech x > 0 będzie liczbą rzeczywistą i n ∈ N. Istnieje dokładnie jedna
dodatnia liczba y ∈ R taka, że
y n = x.
Konsekwencje zasady istnienia kresów
Istnienie pierwiastka arytmetycznego
Twierdzenie
Niech x > 0 będzie liczbą rzeczywistą i n ∈ N. Istnieje dokładnie jedna
dodatnia liczba y ∈ R taka, że
y n = x.
Piszemy wówczas
y=
√
n
x.