Logika 11

Logika 11
1. Zapisz w postaci formuły rachunku zdań: ”Krokodyl dostrzegłszy zdobycz, podpływa do
niej cicho i niepostrzeżenie, a gdy jest już blisko, rzuca się na nią gwałtownie”.
2. Sprawdź, czy następujące wyrażenia są tautologiami:
(a) [(p ∨ q) ∧ ¬p] ⇒ q.
(e) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ q) ⇔ p].
(b) (p ⇒ q) ⇒ [p ⇒ (q ∨ r)].
(f) ¬[p ∧ (¬p ∧ q)].
(c) p ⇒ [(¬p) ∨ q)].
(g) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ (p ∨ q).
(d) [(p ∨ q) ∧ (p ⇒ q)] ⇒ (q ⇒ p).
3. Czy prawdziwe są zdania:
(a) Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to jeżeli a jest liczbą złożoną, to a
równa się 16.
(b) Jeżeli liczba a dzieli się przez 13 i dzieli się przez 17, to jeżeli a nie dzieli się przez
17 wynika, iż a nie dzieli się przez 13.
(c) Jerzy zna Logikę wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest prawdą, że nie jest prawdą, że
Jerzy zna Logikę.
4. Udowodnij, że jeżeli zdanie p jest fałszywe, to dla każdego zdania q mamy:
(a) p ∨ q jest równoważne q.
(b) p ∧ q jest równoważne p.
5. Udowodnij, że jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to dla każdego zdania q mamy:
(a) p ∧ q jest równoważne q.
(b) p ∨ q jest równoważne p.
6. Czy zdanie: „Liczba naturalna n jest podzielna przez 3” jest warunkiem:
• koniecznym,
• dostatecznym (wystarczającym),
• WKW (warunkiem koniecznym i dostatecznym)
dla zdań:
(a) Liczba n jest podzielna przez 6.
(b) Liczba n jest podzielna przez 1.
(c) Liczba n jest większa od 1.
(d) Suma cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby n jest podzielna przez 3.
(e) Liczba n jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych.
7. Podaj uzasadnienie dla każdej równoważności w poniższym ciągu:
(a) (p → s) ∨ (¬s → t) ⇐⇒ (¬p ∨ s) ∨ (s ∨ t) ⇐⇒ [(¬p ∨ s) ∨ s] ∨ t ⇐⇒ [¬p ∨ (s ∨
s)] ∨ t ⇐⇒ (¬p ∨ s) ∨ t ⇐⇒ ¬p ∨ (s ∨ t) ⇐⇒ p → (s ∨ p).
(b) [(a ∧ p) ∨ p] → p ⇐⇒ ¬[(a ∧ p) ∨ p] ∨ p ⇐⇒ [¬(a ∧ p) ∧ ¬p] ∨ p ⇐⇒ [(¬a ∨
¬p) ∧ ¬p] ∨ p ⇐⇒ p ∨ [(¬a ∨ ¬p) ∧ ¬p] ⇐⇒ [p ∨ (¬a ∨ ¬p)] ∧ (p ∨ ¬p] ⇐⇒
[(¬a ∨ ¬p) ∨ p] ∧ 1 ⇐⇒ (¬a ∨ ¬p) ∨ p ⇐⇒ ¬a ∨ (¬p ∨ p) ⇐⇒ ¬a ∨ 1 ⇐⇒ 1.
8. Znajdź formułę o możliwie najkrótszej długości równoważną danej formule:
1
Zadania opracowała Joanna Raczek
1
(a) (p ∧ q ∧ s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬s) ∨ ¬(p ∧ r ⇒ q);
(b) ¬p ⇒ ¬¬q;
9. Znajdź kontrprzykłady na następujące stwierdzenia:
(a) 2n − 1 jest liczbą pierwszą dla każdego n ­ 2.
(b) 2n + 3n jest liczbą pierwszą dla każdego n ∈ N.
(c) (x + 1)2 ­ x2 dla każdego x ∈ R.
(d) 2n + n jest liczbą pierwszą dla każdej nieparzystej dodatniej liczby n.
10. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne dla
(a) Jeśli x + y ­ 1, to x2 + y 2 ­ 1.
(d)
(b) Jeśli 10 + 3 = 30, to 3 + 5 = 8.
(e)
2
(c) Jeśli x > 0, to x > 0.
(f)
każdego ze zdań. Określ ich prawdziwość.
x2 = 1 ⇒ x = ±1.
ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0.
4ABC jest prostokštny ⇒ a2 + b2 = c2 .
11. Dane jest zdanie: „Trójmian kwadratowy nie posiada pierwiastków, jeśli jego wyróżnik
nie jest nieujemny”. Zbuduj zdanie odwrotne, przeciwstawne oraz zdanie odwrotne do
przeciwstawnego. Określ ich prawdziwość.
12. Określ wartość logiczną zdań:
(a) jeśli 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 8;
(b) jeśli 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 6;
(c) jeśli 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 8;
(d) jeśli 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 6.
13. Załóżmy, że ktoś stwierdza: ”kocham Barbarę lub Joannę óraz ”jeśli kocham Barbarę, to
kocham Joannę”. Czy z tego wynika, że kocha Joannę?
14. Przeanalizuj następujące zdania i odpowiedz, czy Jan jest, czy nie jest piosenkarzem rockowym:
(a) ”Jan jest nauczycielem”;
(b) nie jest prawdą, że ”Jan jest nauczycielem”i ”Jan jest bogaty”;
(c) jeśli Jan jest piosenkarzem rockowym, to Jan jest bogaty”.
15. Wykazać metodą ńie wprost”, że następujace zdania są tautologiami:
(a) [(α ∧ β) ⇒ γ] ⇒ [α ⇒ (β ⇒ γ)];
(b) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r);
(c) (p ∨ p) ⇒ p;
(d) (p ∧ p) ⇔ p.
16. Udowodnij każde z następujących stwierdzeń lub wykaż, że jest ono nieprawdziwe.
(a) Iloczyn dwóch liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4.
(b) Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.
(c) Suma dwóch liczb pierwszych nigdy nie jest liczbą pierwszą.
(d) Suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3.
2
(e) Suma czterech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 4.
(f) Jeżeli a jest parzystą liczbą całkowitą to 12 a jest liczbą parzystą.
(g) Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje liczna rzeczywista y taka, że xy = 1.
(h) Liczba całkowita n jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n2 jest parzysta.
17. Kreska Sheffera (NAND) jest to spójnik | zdefiniowany następująco:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p|q
1
1
1
0
Zatem p|q ⇐⇒ ¬(p∧q). Wszystkie zdania złożone są równoważne ze zdaniami, w których
występuje tylko spójnik |.
(a) Pokaż, że ¬p ⇐⇒ p|p.
(b) Znajdź zdanie równoważne zdaniu p ∧ q, w którym występuje tylko |.
(c) Zrób to zamo ze zdaniem p ⇒ q.
18. Rozważmy założenia: Jeśli pojadę autobusem lub metrem to spóźnię się na spotkanie.
Jeśli pojadę taksówką, to nie spóźnię się na spotkanie, ale zbankrutuję. Nie spóźnię się na
spotkanie. Które z poniższych wniosków mogą być wyprowadzone z założeń? Odpowiedź
uzasadnij.
(a) Pojadę taksówką.
(d) Jeśli zbankrutowałem, to pojechałem metrem.
(b) Zbankrutuję.
(e) Jeśli pojadę autobusem, to nie zbankrutuję.
(c) Nie pojadę metrem.
19. Znajdz wykresy funkcji zdaniowych, jeżeli x, y ∈ R:
(a) x = 2y;
(d) ∼ (x + y = 1 ∨ x 6= y);
1
(b) |x| > 2 y;
(e) x ­ − 12 ⇒ |x| + |y| ¬ 1.
(c) x + y = 0 ∨ x ­ 4y + 1;
(f) x + y ­ 0 ⇒ x2 − y = 3.
20. Korzystając z praw arytmetyki liczb rzeczywistych oraz rachunku zdań znajdź rozwiązanie
nierówności:
2
2 −16
(a) xx2 −4
(b) xx2 −x+2
< 0.
−9 ­ 0;
3