moce i kompensacja w układach z - Smartgrid

MOCE I KOMPENSACJA
W UKŁADACH Z NIESINUSOIDALNYMI PRZEBIEGAMI
PRĄDU I NAPIĘCIA
Leszek S. Czarnecki, Fellow IEEE
Internet Page: www.lsczar.info
Research >>> Selected papers
Moc pozorna w układach trójfazowych, trójprzewodowych
Trzy definicje mocy pozornej:
S A  U R I R  U S IS  U T I T
SG 
SB 
P2  Q2
U R2  U S2  U T2
I R2  IS2  I T2
Która jest poprawna?
P = 72.3 kW
P = 72.3 kW
Ideal
S  SA  U R I R  U S IS  U T I T  83.8 kVA
S  SG  P 2  Q 2  72.3 kVA
S  S B  U R2  U S2  U T2
I R2  IS2  I T2  220 3  190.2 2  102.7 kVA
  P
S
A  P  0.86
SA
G  P  1
SG
B  P  0.71
SB
Jaką wartość ma współczynnik mocy?
Powszechnie stosowane równanie mocy
S 2  P2  Q2
z mocą czynną:
df
1
P 
T
T

0
T
1
[ uRiR  uSiS  uTiT ] dt 
p (t) dt 
T

0

U f I f cos f
f = R,S,T
i mocą bierną:
df
Q 

U f I f sin f
f = R,S,T
narzuca geometryczną definicję mocy pozornej S. Przy innych definicjach
równanie mocy nie jest spełnione
Ocena i wybór definicji mocy pozornej S
ze względu na straty energii w źródle zasilania i wspólczynnik mocy:
L.S. Czarnecki:
Energy Flow and Power Phenomena in Electrical Circuits:
Illusions and Reality,
Archiv fur Elektrotechnik, (82), No. 4, pp. 10-15, 1999.
SA= SG= SB=100 kVA
A= G= B=1
Definicja geometryczna
S  P2  Q2
SA= 119 kVA,
A= 0.84
SG= 100 kVA,
G= 1
SB= 149 kVA,
B= 0.67
jest błędna
SA= 119 kVA,
A= 0.84
SG= 100 kVA,
G= 1
SB= 149 kVA,
B= 0.67
SA= SG= SB=149 kVA
A= G= B= 0.67
S 
Definicje
U R2  U S2  U T2
S  U R I R  U S IS  U T I T ,
I R2  I S2  I T2
S  P2  Q2
są błędne
P = 72,3 kW,
Q=0
S  U R2  U S2  U T2
I R2  I S2  I T2  220 3  190 ,2 2  102 ,7 kVA
Powszechnie stosowane równanie mocy
S 2  P2  Q2
nie jest spełnione
Jeśli równanie
S 2  P2  Q2
jest błędne, trzeba znaleźć nowe równanie mocy
!!!
L.S. Czarnecki:
Equivalent Circuits of Unbalanced Loads
Supplied with Symmetrical and Asymmetrical Voltage
and their Identification,
Archiv fur Elektrotechnik, 78 pp. 165-168, 1995.
Każdy odbiornik trójfazowy zasilany napięciem sinusoidalnym
ma równoważny odbiornik o konfigracji 
Jeśli napięcie jest symetryczne,
każdy odbiornik ma
nieskończenie wiele odbiorników równoważnych o konfigracji 
Wartość skuteczna wektora trójfazowego
 xR (t)  df  xR 
 XR 
x = x (t) =  xS (t)  =  xS   2 Re  X S  e j1t  2 Re X e j1t


 
 
 xT (t) 
 xT 
 X T 
df
df
Moc czynna symetrycznego urządzenia trójfazowego
T
df
1
2 2 2
P  R  (iR  iS  iT ) dt = R ||i||2
T
0
df
||i || =
T
1 ( i 2  i 2  i 2 ) dt 
T R S T
||iR ||2 ||iS ||2 ||iT ||2
0
jest wartością skuteczna prądu trójfazowego
Leszek.S. Czarnecki:
Orthogonal Decomposition of the Current in a Three-phase Non-linear
Asymmetrical Circuit with Nonsinusoidal Voltage,
IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. IM-37, No. 1, pp. 30-34,
1988.
W obwodach jednofazowych:
W obwodach trójfazowych:
df
S  ||u|| ||i ||
df
S  ||u|| ||i ||
Definicja Buchholtz’a dla obwodów z przebiegami sinusoidalnymi
SB 
U R2  U S2  U T2
I R2  IS2  I T2
U R  df
U  = U
 S
U T 
U R  df
U  = U #
 T
 US 
df
YRS +YST  YTR = Ye = Ge + jBe , Admitancja równoważna
df
 (YST  YTR   YRS) = A,
*
Admitancja niezrównoważenia
i  2 Re I e j1t  2 Re{( Ge U  jBe U  A U # ) e j1t}
df
2 Re{Ge U e j1t}
- Prąd czynny
df
ir =
2 Re{ jBe U e j1t}
- Prąd bierny
df
2 Re{A U # e j1t}
- Prąd niezrónoważemia
(Unbalanced current)
ia =
iu =
i  ia  ir  iu
Ortogonalność wektorów trójfazowych
T
||x +y || =
1 [x(t) + y(t)]2 dt 
T
||x ||2 + 2(x , y ) + ||y ||2 .
0
Wektory x i y są wzajemnie ortogonalne jeśli ich iloczyn skalarny jest równy zeru
(x , y ) = 1
T
T
T
x
 (t) y(t) dt  0
0
Wówczas:
||x +y || =
||x ||2 + ||y ||2
Iloczyn skalarny (x,y) można wyznaczyć znając wektory
zespolonych wartości skutecznych X i Y,
(x , y) = (xR , yR ) + (xS, yS) + (xT , yT ) = Re{X RYR* +X SYS* +X TYT*} = Re{X TY * }
i  ia  ir  iu
(ia ,ir ) = Re{IaT Ir*} = Re{GeUT( jBeU)*} = Re{ jBeGe ||u||2} = 0
(ia ,iu ) = Re{I aT I u*} = Re{Ge U T ( A U # )*} = 0
(ir ,iu ) = Re{I rT I u*} = Re{ jBe U T ( A U # )*} = 0.
Wektory prądu czynnego, biernego i prądu niezrównoważenia
są wzajemnie ortogonalne
||i ||2  ||ia||2  ||ir||2  ||iu||2
Prądy:
df
ia =
2 Re{Ge U e j1t}
df
ir =
2 Re{ jBe U e j1t}
df
2 Re{A U # e j1t}
iu =
nazywa się
„składowymi fizycznymi”
wektora prądu liniwego odbiornika trójfazowego
Teorię mocy opartą na tym rozkładzie, nazwano
„Teorią mocy składowych fizycznych prądu”
Ang.: „Currents’ Physical Components (CPC) power theory”
Równanie mocy odbiornika trójfazowego
zasilanego symetrycznym i sinusoidalnym napięciem
||i ||2  ||ia||2  ||ir||2  ||iu||2
|  ||u||2
S 2 = P2 + Q2 + D2
df
P = ||ia|| ||u||  Ge ||u||2
df
Q =  ||ir|| ||u||   Be ||u||2
df
D = ||iu|| ||u||  A ||u||2
Moc czynna
Moc bierna
Moc niezrównoważenia
0
YRS  1  0 ,90  j 0 ,30  0 ,95 e  j 18 S
ZR
Ye  Ge  jBe  YRS  0,90  j 0 ,30 S
0
A   *YRS  0 ,95 e j 42 S
||u|| = 220 3  381 V
||i || = 361,5 2  511 A
||ia||  Ge ||u|| = 0,90  381 = 343 A
||ir||  | Be | ||u|| = 0,30  381 = 114 A
||iu||  A ||u|| = 0,95  381 = 361 A
||i || 
||ia||2  ||ir||2  ||iu||2 
S = 195 kVA,
P = 131 kW,
3432  1142  3612  511 A
Q = 43 kVAr,
D = 138 kVA
Kompensacja prądu biernego i prądu niezrównoważenia
  P 
S
||ia ||
||ia ||2  ||iu ||2  ||ir ||2
Be  ( TST  TTR  TRS)  0
A  j ( TST   TTR   *TRS) = 0
Rozwiązanie ze względu na susceptancje kompensatora
TRS  ( 3 Re{A}  Im{A}  Be )/3
TST  (2 Im{A}  Be )/3
TTR  (- 3 Re{A}  Im{A}  Be )/3
TRS  ( 3 Re{ A}  Im{ A}  Be ) / 3  0.30 S
TST  (2 Im{ A}  Be ) / 3 = 0.52 S
TTR  (- 3 Re{ A}  Im{ A}  Be ) / 3 = - 0.52 S
||ia||  343 A, ||ir||  114 A, ||iu||  361 A
||ia ||  343 A ,
||ir ||  0 ,
||iu ||  0 ,
S 2 = P 2 +Q 2 + D 2
df
P = ||ia|| ||u||  Ge ||u||2
df
Q =  ||ir|| ||u||   Be ||u||2
df
D = ||iu|| ||u||  A ||u||2
Moc czynna
Moc bierna
Moc niezrwnoważenia
To równanie mocy jest poprawne tylko
dla odbiornika liniowego, czasowo-niezmienniczego (LTI),
zasilanego napięciem
symetrycznym i sinusoidalnym
Aby je uogólnić na odbiorniki LTI z niesinusoidalnym napięcie zasilania,
niezbędna jest poprawna teoria mocy obwodów jednofazowych
zasilanych niesinusoidalnie.
Steinmetz experiment: 1892
P 2 Q 2  S 2
?????
Poprawność równania mocy w warunkach niesinusoidalnych zakwestionował Steinmetz
w 1892 roku,
Do lat osiemdziesiątych, po 90 latach rozwoju teorii mocy, jej stan wyglądał jak poniżej
1927: Budeanu:
1931: Fryze:
1971: Shepherd:
1975: Kusters:
2
2
S  P 
QB2
 D
2
S 2  P 2  Q F2
2
SR2
2
2
S 

S  P 

df
 U n I n sinn
n 1
QF = || u || ||irF ||
QS = || u ||||irS ||
Qr2
1979: Depenbrock: S 2  P 2  Q12  V 2  N 2
1984: Czarnecki:
QB =

df
QS2
2
QK
df
S 2  P2  Q2  Ds2
df
QK = || u ||||irC ||
1927
C.I. Budeanu, Professor of Bucharest University, Romania, introduced
definition of the reactive power
df
Q  QB =

U n I n sinn
n 1
P 2  QB2  S 2
Budeanu concluded that there is also other power associated with the waveform distortion,
and introduced a new power quantity, called
Distortion Power
df
D =
S 2  ( P 2  QB2 )
Budeanu's power equation has the form:
S 2  P 2  QB2  D2
1987
L.S. Czarnecki: What is Wrong with the Budeanu’s Concept of Reactive and Distortion Powers
and Why it should be Abandoned,
IEEE Trans. on Instrumentation and Measurements
Question: Is the Budeanu’s Reactive Power a measure of energy
oscillation?
For a single harmonic:
un ( t ) 
2 U n cos n  1t
in ( t ) 
2 I n cos( n  1t   n )
The instantaneous power:
pn (t ) 
dWn
 un (t ) in (t )  Pn (1  cos2 n  1t )  Qn sin 2 n  1t
dt
Pn = UnIn cosn
Qn = UnIn sinn
Qn is an amplitude of the energy oscillation
At distorted voltages and currents:
N
u( t )   un ( t ),
n 0
Qn <> 0,
N
i (t )   in (t )
n 0
=>
N
N
n 1
n 1
QB   U n I n sin n   Qn
QB could be equal to zero, even if Qn  0
Budeanu's Reactive Power is no measure of energy oscillation
25
Why Budeanu definition of reactive power Q is
wrong?
u (t) = 2(100sin1t  25sin31t) V

Q =
i (t) = 2 [25 sin (1t  900)  100 sin (31t  900)] A
 U n I n sinn  100  25 1  00  25  (-1) = 0
n=1
There are energy oscillations in spite of zero Budeanu’s reactive power Q
Why Budeanu’s definition of Distortion power D is wrong?
df
D =
S 2 - P 2 - Q 2 = 1   U r2U s2 | Yr - Ys |2
2 rN sN
D = 0 if for each r, s:
Yr  Ys .................................................(1)
u (t) = 2(100sin1t  50sin31t) V
Y1  Y3 
j
1e 2
S
i (t)  2 [100 sin(1t   )  50 sin(31t   )] A
2
2
The load current is distorted in spite of zero distortion power , D
The load current is not distorted, meaning
i (t) = a u (t   )
if
I n = a Un e  jn  Yn U n ,
Yn  a e  jn ..............................................(2)
u (t) = 2(100sin1t  30sin31t) V

j
Y1  j 1  j 3  1 e 2 S
4
4 2


j
 j3
2S
Y3  j 3  j 1  1 e 2  1 e
4
4 2
2
i (t) = 2[50sin(1t 

2
)  15sin(31t 
3
1
)  u (t T4 ),
2
2
D  U1 U 3 | Y1  Y3 |  100  25  | 1 e
2
 j
2
1e
2
j 3
2
|  2.5 kVA
Load current is not distorted in spite of non zero distortion power, D
Power factor improvement and Budeanu’s reactive power
|| i || 
N
 || in ||
2
N
N Q
Pn 2
 ( U n )   ( Unn )2 ,
n 0
n 1

n =0
but in Budeanu Theory: Q =  Qn
n =1
i (t) = 2 [25 sin (1t  900)  100 sin (31t  900)] A
u (t) = 2(100sin1t  25sin31t) V

Q =
N
 U n I n sinn  100  25 1  00  25  (-1) = 0
n=1
Budeanu’s reactive power is useless for compensator design
1931
S. Fryze, Professor of Lwow University, Poland, defined the reactive power
in a time-domain, based on
the load current orthogonal decomposition into
active and reactive currents
i = ia + irF
df
df
P
ia (t) =
u (t) = Ge u (t),
|| u ||2
df
irF (t) = i (t)  ia (t)
z
1T
ia ( t ) irF ( t ) dt  (ia ,irF )  0
T0
||i ||2  ||ia ||2  ||irF ||2
S 2  P 2  QF2
Fryze's Power Equation:
df
Fryze’s definition of reactive power:
QF = | u || ||irF ||
1997
L.S. Czarnecki: „Budeanu and Fryze: Two frameworks for Interpreting Power Properties
of Circuits with Nonsinusoidal Voltages and Currents,”
Archiv fur Elektrotechnik
Fryze's Power Equation
S 2  P 2  QF2
i = ia + irF
ia - Active current
irF - Reactive current
We know that the following phenomena may contribute
to the power factor deterioration
1. Energy oscillations
2. Bi-directional flow of active power
3. Harmonic generation in the load
4. Change of the load conductance with frequency
5. Load unbalance
Fryze’s Power Theory does not explain
the effect of these power phenomena on the power factor
31
Question: Does the Fryze’s Power Theory provide fundamentals
for the power factor improvement?
u( t )  100 2 (sin 1t  sin3 1t ) V
Q=0
P = 10 kW
Q = 10 kVAr
S = 14.1 kVA
 = 0.71
S = 10 kVA
= 1
Q = 8 kVAr
S = 12.7 kVA
= 0.78
These loads cannot be distinguished with respect to Fryze's powers.
They differ as to the possibility of their compensation
Fryze's Power Theory
does not enable us to draw conclusions as to the possibility of the load compensation
with a reactive compensator
Opinion: Fryze’s power theory provides fundamentals
for switching compensator control
i = ia + irF
ia - active current is useful component
irF - reactive current is useless component
Illustration:
e  100 2 sin 1t V
j  50 2 sin 31t A
i  2(20 sin 1t  40 sin 3 1t ) A
u  2(80 sin 1t  40 sin 3 1t ) V
P = 1600 - 1600 = 0
ia (t ) 
P
u( t )  0
2
|| u||
According to Fryze's Power Theory,
total compensation requires that the current irF is reduced to zero
This is a wrong conclusion
Only the 3rd order current harmonic should be compensated
34
u (t) = U 0  2
1927: Budeanu:
1931: Fryze:
2
2
S  P 

U n cos (n1t   n)
n 1
QB2
 D
2
2
2
n 1
df

1975: Kusters:
S  P 
QK2
1979: Depenbrock:
S 2  P 2  Q12  V 2  N 2
1984 r.
Czarnecki:
S 2  P2  Q2  Ds2
S 
 U n I n sinn
QF = || u || ||irF ||
QS2
1971: Shepherd:
SR2
QB =
df
S 2  P 2  QF2
2
df 
QS = || u ||||irS ||

Qr2
df
QK = || u ||||irC ||
Current Physical Components (CPC) Power Theory
of Linear Single-Phase Circuits
with Nonsinusoidal Voltages and Currents

u  U 0  2 Re  Un e jn 1t
n 1

i  G0 U 0  2 Re  Yn Un e jn 1t
n 1
i = ia + is + ir
Ge  P
|| u ||2
ia  Ge u,
Active current

is  ( G0  Ge )U 0  2 Re  ( Gn  Ge ) U n e jn1t
ir 

n 1
2 Re  jBn U n e jn1t
n 1
Scattered current
Reactive current
36
Gn = Re{Yn } = Re
G0 = 1 S,
G1 = 0,5 S,
1
R
= 2
R+ jn1L
R +(n1L) 2
G2 = 0,2 S,
G3 = 0,1 S,
G4 = 0,06 S.
Currents ia, is and ir are mutually orthogonal
i = ia + is + ir
thus
|| i ||2  || ia ||2  || is ||2  || ir ||2
||ia ||  Ge ||u||
||is || 
||ir || 

 (Gn  Ge )2 U n2
n0

 Bn2 U n2
n 1
Multiplying the current RMS equation by
||u||2
S 2  P 2  Ds2  Q 2
38
This decomposition and power equation
was developed without any approximation consequently,
this decomposition is valid independently on the level of harmonic distortion
Illustration
u(t )  50 
||u||  11358
. V
2 Re{100 e j  1t  20 e j 5 1t } V,  1  1 rd/s
Y0 = 1 S
P 
Y1 = 0.5 S
Y5 = 0.04 +j2.31 S
i (t )  50 
 Gn U n2
 7516 W
n  0,1,5
2 Re{50 e j  1t  46.2 e j 89 e j 5 1t } A,
||i||  502  502  46.2 2  84.47 A
P
Ge 
 0.5826 S
||u||2
||ia ||  Ge ||u||  6617
. A
0
||is || 
||ir || 
 (Gn  Ge )2 U n2
 24.93 A
n  0 ,1,5
 Bn2 U n2
||i|| 
||ia ||2  ||is ||2  ||ir ||2  84.47 A
 46.2 A
n 1,5
In real systems the scattered current has relatively small value
39
Reactive current compensation:
Lossless shunt reactive compensators do not change active power, P, and conductance Gn.
Ge 
P
||u||2
= const.
||ia ||  Ge ||u||  const.
||is || 

 (Gn  Ge )2 U n2
 const.
n0
The RMS value of the reactive current changes to:
|| ir, || 

 ( Bn  Bxn )2 U n2
n 1
A total compensation of the reactive current:
||ir, ||  0, if for each n , such that U n  0, Bx n   Bn
Conclusion: This decomposition solves the problem
of a shunt reactive compensation of linear loads
40
Illustration
2 Re{100 e j  t  5 e j 5 t } V
u( t ) 
1
1
1 = 1 rad/s
Y1 = 0.20 - j0.40 S
Y5 = 0.01 - j0.10 S
Y1’ = 0.20 S
Y5’ = 0.01 + j1.9 S
i (t ) 
2 Re{20 e
Y1’ = 0.20 S
Y5’ = 0.01 S
j  1t
 9.5 e
j 89 0 j 5 1t
e
}A
i (t ) 
||ia ||  19.98 A
2 Re{20 e j 1t + 0.05 e j 5 1t } A
||ia ||  19.98 A
||is ||  0.95 A
||is ||  0.95 A
||ir, ||  9.50 A
||ir, ||  0
Power factor
 = P=
S
  0.867
P
P 2  Ds2  Q 2
=
|| ia ||
|| ia ||2  || is ||2  || ir ||2
  0.999
41
Reactive current minimization
Total compensation requires very complex compensators, therefore,
it has only a theoretical value.
The reactive current can be minimized by two-element reactive
compensator
Bx n 
|| ir ||  Min., if
d || i ||  0
dC r
>>
n  1C
1  n 2 12 LC
n Bn U n2
 (1  n2 2LC )2
k
1
n
 Copt
Ck 1   N
2
2
n Bn U n
1 
2 2
3
nN (1  n 1 LCk )
The inductance L can be chosen such that no resonance occur.
The circuit can operate at close to unity power factor
42
Illustration
E3 = 1% E1
E5 = 5% E1
E7 = 2% E1
E11= 1% E1
L=0
L such that r = 2.51
n Bn U n2

2 2
2
nN (1  n 1 LCk )
Ck 1  
 Copt  0.85 C0 in three steps of iteration
2
2
n Bn U n
1 
2 2
3
nN (1  n 1 LCk )
Moce w owodach z odbiornikami generującymi harmoniczne (HGL)
e  100 2 sin 1t V
j  50 2 sin 31t A
i  2(20 sin 1t  40 sin 3 1t ) A
u  2(80 sin 1t  40 sin 3 1t ) V
||i|| = 44.72 A,
||u|| = 89.44 V,
P = 1600 - 1600 = 0, Q = 0,
S = 4000 VA
Ds  0,
lecz S  0
Równanie:
S 2  P 2  Ds2  Q 2
nie jest poprawne!!!!
44
Lokalizacja źródeł harmonicznych ma krytyczne znaczenie dla
projektowania filtrów harmonicznych
i kompensatorów harmonicznych
u   un ,
nN
i   in ,
P   Pn
nN
nN
Pn  U n I n cos n
 0

 0
Ze wzgledu na kierunek przepływu energii harmonicznych
zbiór rzędów harmonicznych N może być rozłożony na dwa podzbiory
NC, and NG,
Jesli | n |  900 , n  N C
Jesli | n |  900 , n  N G

df
nN C

nN G
un  uC ,
df
un   uG ,
u = uC  uG,
||u ||2  ||uC ||2  ||uG ||2

nN C

df

in  iC ,
nN G
df
nN C
in  iG ,
i = iC + iG,

df
Pn  PC
nN G
df
Pn   PG
P = PC  PG
|| i ||2  || iC ||2  || iG ||2
Obwody równoważne:
df
Dla n  N C
Yn  Gn  jBn 
Dla n  N G
i = iC + iG
In
Un
Rozkład prądu według CPC:
.
df
Dla n  N C
Yn  Gn  jBn 
Dla n  N G
df
GeC 
PC
|| uC ||2
df
iaC  GeC uC
i = iaC + isC + irC + iG
Rozkład prądu według Fryzego:
df
GeF 
df
P
2
|| u ||
iaF  GeF u
i = iaF + irF,
In
Un
Składowe fizyczne prądu odbiornika generującego harmoniczne:
i = iaC + isC + irC + iG
to jest stwarzyszone z odrębnymi zjawiskami fizycznymi
Prądy te są wzajemnie ortogonalne
|| i ||2 = || iaC ||2 + || isC ||2 + || irC ||2 + || iG ||2
Przykład
.
.
e  220 2 cos 1t + 15 2 cos31t V
N C  {1,3}
I1  141.42 e  j45 A
Y1 = 0.50 – j0.50 S
U3  13.64 e j 8.4 V ,
I 3  4.31e  j 71.6 A
U5  9.27 e  j101.3 V ,
Y3 = 0.10 – j0.30
I5  18.18A
U7  9.64 e j 98.1 V,
I7  13.64A
0
U1  200.0 V ,
0
0
N G  {5,7}
0
PC  Re{U1I1*} + Re{U3 I 3*} = 20010 W,
||iaC || 
PC
 99.84 A,
|| uC||
j  20 2 cos 51t  15 2 cos 71t A
.
||isC || 
0
|| uC || = U12  U 32  200.46 V,
 [( Gn  GeC) U n]2 
5.44 A,
n 1,3
|| iG || 

n  5 ,7
I n2  22.73 A
||irC || 
GeC =
PC
|| uC ||2
 0.4979 S
 (Bn U n)2  100.08 A
n 1,3
Składowe fizyczne prądu odbiornika LTI zasilanego w trójprzewodowo
symetrycznym niesinusoidalnym napięciem
u  2 Re
 U n e jn t
1
nN
df
Ge 
df
ia  Ge u
P
||u ||2
Active current:
Składowa bezużyteczna prądu:
i  ia 
 in  ia   (ia n  ir n  iu n )  ia = (  ia n  ia ) +  ir n   iu n
nN
nN
nN
nN
nN
Składowa bezużyteczna prądu:
i  ia 
df
is 
df
ir 
df
iu 
 in  ia   (ia n  ir n  iu n )  ia = (  ia n  ia ) +  ir n   iu n
nN
 ia n  ia 
nN
2 Re
nN
 ir n 
nN
 iu n 
nN
 (Gen  Ge) U n e jn t
1
nN
2 Re

nN
2 Re

nN
nN
jBe n U n e
An U n# e jn1 t
Rozkład na składowe fizyczne
i  ia  is  ir  iu
nN
nN
i  ia  is  ir  iu
Wartości skuteczne składowych fizycznych:
||ia ||  Ge ||u ||,
||is || 
||iu || 
||ir || 
 ( Ge n  Ge )2 ||un ||2
nN
 An ||un ||2
nN
 | Bn |2 ||un ||2
nN
Prąd rozrzutu pojawia się wtedy, gdy
Ge 
P ,
||u||2
Ge n 
Pn
||un ||2
CPS są wzajemnie ortogonalne, zatem:
||i ||2  ||ia ||2 ||is ||2  ||ir ||2  ||iu ||2
53
Przykład
Rozkłąd na składowe symetryczne nie zależy od poziomu odkształcenia
uR (t ) 
2 Re{220 e j  t  44 e j 5 t } V
1
1
Ge = 0.6018 S
Ye1 = 0.60  j0.40 S
Ye5 = 0.88 + j0.15 S
A1 = 0.83 e-j0.18p S
A5 = 1.12 e-j0.86p S
||i || 
|| iR ||2 || iS ||2 || iT ||2 
3412  1982  1842  433 A
||ia ||  237 A
||is ||  21 A
||ir ||  153 A
||iu ||  327 A
||i || 
||ia ||2 ||is ||2 ||ir ||2 ||iu ||2 
237 2  212  1532  327 2  433 A
54
Kompensacja reaktancyjna w warumkach niesinusoidalnych
Dla harmonicznej rzędu n:
.
ic n  Ge n un
ic n  Ge n un  Ge un  ( Ge n  Ge ) un  ia n  is n
ir n  2 Re{ jBen U n e
jn 1t
iun  2 Re{An Un# e jn1t}
Ben  ( TSTn  TTRn  TRSn ) = 0
An  j ( TSTn   TTRn   TRSn ) = 0
*
>>>
TRS n  1 (s 3 Re An  Im An  Ben )
3
TSTn  1 (2 Im An  Ben )
3
TTRn   1 (s 3 Re An  Im An  Ben )
3
L.S. Czarnecki,
"Reactive and unbalanced currents compensation in three-phase circuits under
nonsinusoidal conditions,"
IEEE Trans. Instr. Measur., Vol. IM-38, No. 3, pp. 754-459, June 1989.
}
Przykład
A1  A7  0.333 e j 60 S
0
0
A5  0.333 e j 60 S
TRS n  1 (s 3 Re An  Im An  Ben )
3
TSTn  1 (2 Im An  Ben )
3
TTRn   1 (s 3 Re An  Im An  Ben )
3
Minimalizacja prądu biernego i prądu niezrównoważenia
Kompensator idealny
Kompensator zredukowany
L.S. Czarnecki,
"Minimization of unbalanced and reactive currents in three-phase asymmetrical circuits with
nonsinusoidal voltage,"
Proc. IEE, Vol. 139, Pt. B, No. 4, pp. 347-354, July 1992.
df
d  || jT  j D ||
Przykład:
Składowe fizyczne prądu w obwodach trójfazowych
z odbiornikami generującymi harmoniczne
Pn  U Rn I Rn cos Rn  U Sn I Sn cos Sn  U Tn I Tn cos Tn
 0

 0
Jeśli napięcie jesat symetryczne:
df
I an  I Rn cos Rn  I Sn cos Sn  I Tn cos Tn
 0

 0
df
I an  I Rn cos Rn  I Sn cos Sn  I Tn cos Tn
 0

 0
Ze wzgledu na kierunek przepływu energii harmonicznych
zbiór rzędów harmonicznych N może być rozłożony na dwa podzbiory NC, i NG,
Jesli I an  0, n  N C
Jesli I an  0, n  N G
i

nN C
i n  iC ,
df
 in 
nNG
 in  iC  iG ,
nN
df
u=
iG ,

nN C
df
un  uC ,
df
 un   uG,
nNG
 un  uC  uG ,
P=
nN
||u ||2  ||uC ||2  ||uG ||2
||i ||2  ||iC||2  ||iG||2
df

Pn  PC

df
nN C
nNG
Pn   PG .
 Pn  PC  PG .
nN
Dla n  N C
df
YenC  GenC  jBenC 
S*n
||un ||2
df
Sn  Pn  jQn  U nT I n*
df
GeC 
PC
||uC ||2
df
iaC  GeC uC
iC  iaC  isC  irC  iuC
Dla n  N C
Dla n  N G
Składowe fizyczne prądu odbiornika generującego harmoniczne:
i  iaC  isC  irC  iuC  iG
Składowe fizyczne są wzajemnie ortogonalne, zatem
||i ||2  ||iaC||2  ||isC||2  ||irC||2  ||iuC||2  ||iG||2
Ilustracja geometryczna:
,
Równanie mocy HGL:
df
S  ||u ||||i ||  ||uC ||2  ||uG ||2 ||iC ||2  ||iG ||2  SC2  SG2  S E2
df
2
2
SC  ||uC ||||iC || = PC2  DsC
 QC2  DuC
df
SG  ||uG ||||iG ||
df
SE 
||uC ||2 ||iG ||2  ||uG ||2 ||iC ||2
Współczynnik mocy:
df
  P
S
PC  PG
PC2  Ds2C  Qr2C  Du2C  SG2  S E2
Uwagi dotyczące:
Instantaneous Reactive Power p-q Theory
Akagi, Nabae, Kanazawa
(1983)
64
Clarke Transform:
 3/ 2,
 u 
   
u  
1 / 2 ,
0  uR 
uR 
   C 
2   uS 
 uS 
 3/ 2,
 i 
   
 i 
1 / 2 ,
Instantaneous real or active power:
p = u i + u i,
Instantaneous imaginary or reactive power
q = u i  u i
0   iR 
iR 
   C 
2   iS 
 iS 
Instantaneous active current:
In   coordinates:
In phase coordinates:
i p 
2
u
2
u  u 
p
i p 
u
2
2
u  u
p
 2/3 ,
iRp 
i 
0  ip 
1  p
 
  C    

iSp 
i p 
 1/ 6 , 1 / 2  i p 
Instantaneous reactive current:
u
In ,  coordinates:
iq 
In phase coordinates:
iRq 
i 
1 q
  C  
iSq 
i q 
2
2
u  u
q
iq 
u
2
2
u  u
q
Według Nabae’a, który jest głównym autorem
IRP p-q Theory:
“It was developed to enable instantaneous compensation
of the reactive power”
Rzeczywiście,
moce chwilowe p & q
mogą być obliczone momentalnie
co sugeruje wniosek,
że właściwości energetyczne odbiorników mogą być też
identyfikowane momentalnie
(z opóźnieniem potrzebnym jedynie do obliczeń)
Przykład 1
uR  2 U cost, U = 220 V
iR  2 I cos(t  300), I = 95.3 A
Q=0
 u 
  C
u  
 3 U cost 
uR 

   
u
 3 U sint 
 S
 3 I cos(t  30o) 
 i 
 iR 

   C
  
o 
i


i 
R


  I cos(t  30 ) 
Instantaneous powers,
3 U I [1  cos 2( t  30 0 )]
Active:
p  u i  u  i 
Reactive:
q  u i  u  i   3 U I sin 2( t  30 0 )
For 2( t + 300)  900 , p = - q
Instantaneous currents,
Active:
iRp 
i  
 Sp 
cos t

2 I [1  cos 2(t  300 )] 

0 
3
 cos(t  120 ) 
Reactive:
iRq 
i  
 Sq 
sin t

2 I sin2(t  300) 

0 
3
sin(t  120 ) 
Odbiornik czysto rezystancyjny obciąża źródło chwilowym prądem biernym
Przykład 2
uR  2 U cost, U = 220 V
iR  2 I cos(t  600), I = 95.3 A
P=0
 3 I cos(t  60o) 
 i 
 iR 

   C
  
o 

i

i 
 R
  I cos( t  60 ) 
Instantaneous powers,
p  u i  u  i 
Active:
3 U I [cos (2 t  30 0 )]
q  u i  u  i   3 U I [1  sin (2 t  30 0 )]
Reactive:
For 2 t - 300  0 , p = - q
Instantaneous active current in R line:
iRp 
I
6
[cos(t  300 ) + cos(3t  300 )]
Odbiornik czysto reaktancyjny obciąża źródło chwilowym prądem czynnym
Wniosek:
Para mocy chwilowych p i q, zmierzonych w pewnej chwil t
nie określa właściwości energetycznych odbiornika
H. Akagi, E. H. Watanabe and M. Aredes book
Instantaneous Power Theory and Applications to Power Conditioning
Przedstawili następującą interpretację fizyczną
chwilowej mocy biernej q:
“…the imaginary power q is proportional to the quantity of energy that is being
exchanged between the phases of the system…” “Fig. ( ) summarizes the above
explanations about the real and imaginary powers.”
A
  
P = E ×H
Wektor Poyinting’a P
nie może być równoległy
do wektora natężenia pola magnetycznego H


dW (t)
P  dA 
dt
Wektor Poyinting’a P
nie może być równoległy
do wektora natężenia pola elektrycznego E
Interpretacja Akagi’ego jest błędna.
Energia nie może wirować wokół linii transmisyjnej bądź przepływać
między przewodnikami liniami
Teoria Chwilowej Mocy Biernej p-q nie ma znaczenia poznawczego
gdyż
nie dostarcza interpretacji zjawisk fizycznych
Dopiero teoria CPC wyjaśniła sens fizyczny mocy q
Jest to wielkość złożona
q  u i  u i   Q  D sin(2t  )
Ale nawet ten wynik jest poprawny tylko wtedy,
gdy napięcia i prądy są sinusoidalne
Głównym zastosowaniem Teorii Chwilowej Mocy Biernej (TCPB) p-q,
są algorytmy sterowania kompensatorów.
Według TCMB p-q, kompensator ma kompensować chwilową moc bierną q
i składową oscylacyjną chwilowej mocy czynnej p.
L.S. Czarnecki, (2009) “Effect of supply voltage harmonics on IRP p-q-based switching
compensator control”
IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 24, No. 2
If the load is an ideal resistive load supplied with nonsinusoidal voltage
u = u1 + u5
p  p + p  P1  P5  6 GU1 U 5 cos61t
 jR   2 2 GU1U 5 cos61t
= 2 2
j
 S  U1 + U 5 +2U1U 5cos61t
j 
U1cos 1t + U 5cos 51t



0
0 
U1cos(1t 120 )+ U 5cos(51t 120 ) 
L.S. Czarnecki, “Effect of supply voltage asymmetry on IRP p-q - based switching
compensator control“
IET Proc. on Power Electronics, 2010, Vol. 3, No. 1
If the load is an ideal resistive load supplied with asymmetrical voltage
u = up + un
p  p + p  P p  P n  6 GU p U n cos 21t
 2 2 G (U p +U n )U p U n cos 1t cos 21t
2
jR 
j 
3
U p2 +U n2 + 2U pU n cos 21t
uR  2 U1 cos 1t ,
uR  2 U1 cos  1t  2 U 7 cos 7 1t
iR  2 I1 cos  1t  2 I 7 cos 7 1t
i=Gu
p  p + p  3U1 I1  3U1 I 7 cos 6 1t
p  p + p  P  6 GU 1 U 7 cos 6 1
q=0
q=0
These two circuits,
different
with respect to properties and needed compensation,
are identical
in terms of IRP p-q Theory
Instantaneous powers p and q
are algebraic forms (AF)
of the supply voltages and the load currents products
Values of p and q powers do not provide information
whether their properties come
from the supply voltage or from the load current
ROBOCZA, ODBITA I SZKODLIWA
MOC CZYNNA
Podstawową wielkością w rozliczeniach energetycznych
jest energia dostarczana do jej użytkownika

 P dt  Wa ,
0
P moc czynna,   okres rozliczeniowy
Terminy moc czynna, P oraz moc użyteczna
są zwykle traktowane jako synonimy
Energia czynna Wa jest traktowana zwykle jako energia użyteczna
Odbiorcy wielkich ilości energii pokrywają też zwykle dodatkowe koszty
wynikające z niskiego współczynika mocy .
Takie podejście do rozliczeń energetycznych
pojawiło się na przełomie
XIX i XX wieku
i obowiązuje do chwili obecnej
Przez większość tego okresu energia elektryczna dostarczana
była z generatorów synchronicznych
produkujących niemal doskonale sinusoidalne i symetryczne
napięcie trójfazowe
i zużywana była w dominującej części
przez odbiorniki liniowe
u (t) =
un  u1  uh

nN
i (t) =
T
P  1  u (t) i (t) dt  P1  P2  P3  P4  ...
T0
in  i1  ih

nN
P1  U1 I1  0
Pn  U n I n  ( Rs I n ) I n   Rs I n2  0
Energia do odbiornika dostarczana jest z mocą P1.
jest to
robocza moc czynna, P1 = Pw
 (P2  P3  P4  ...) = Pr
odbita moc czynna
P  Pw  Pr
Odbiornik o mocy czynnej P generujący harmoniczne musi
być zasilany z mocą roboczą Pw.
Pw > P
 = 10 deg,
Rs = 5% of R
Moc czynna
P = 1000 W
Robocza moc czynna
Pw = 1536 W
Odbita moc czynna
Pr = 536 W
Moc strat w zasilaniu:
Ps = 900 W
Harmoniczne generowane w odbiorniku
powodują dodatkowe straty wewnątrz systemu zasilającego.
Odbiorca winien płacić za energię roboczą


 Pw dt   (P  Pr ) dt  Ww  Wa
0
0
Prąd potrzebny do przenoszenia energii roboczej Ww
ma większą moc skuteczną
od prądu przenoszącego energię czynną Wa
 Ps  Pr  Rs I w2
Robocza i odbita moc czynna w układach trójfazowych,
trójprzewodowych
iR  df
i   i  i p  i n
 S
 iT 
uR  df
u   u  up  un
 S
 uT 
T
P  1  u T i dt = (u , i ) = (u p, i p ) + (u n , i n ) = P p + P n
T0
P
n
df
 (u n, i n ) = ( Rs i n, i n ) =  Rs ||i n ||2   Pr  0
p
PP P
n
df
 Pw  Pr
Odbiornik niezrównoważony o mocy czynnej P
musi być zasilany
roboczą mocą czynną Pw większą od mocy czynnej
||i || = 3 159.1  275.6A
Moc strat w źródle
 Ps = Rs ||i ||2 = 0.0658  275.62  5.0 kW
0
U 
U p  1 1,  , *   R   208.9 e j 0 
V
 n  
  US   
j 1200 
3
1,

*
,


U

   11.1e
 

U T 
0
I 
 I p  1 1,  , *   R   168.5 e j 0 
A
 n  
  IS   
0

60
j
3
1,

*
,



   168.5 e
 I 
I
 T
Pw  P p  (u p, i p ) = 3U p I p  3  208.9 168.5  105.6 kW
Pr   P n  (u n , i n ) =  3Re{U n I n*}  3 11.1168.5  5.6 kW
3
Pw

.
105
6
10

 291.8A
||iw || =
||uw ||
3  208.9
Moc strat w źródle
 Ps = Rs ||iw ||2 + Pr = 0.0658  291.82  5.6  11.2 kW
Pw > 0
Pr < 0
Pw  P
Rozliczenia energetyczne, których rdzeniem byłby koszt
energii roboczej
obciążałyby odbiorcę kosztem strat
powodowanych asymetrią prądów i harmonicznymi
generowanymi w odbiorniku
Rozważmy maszynę indukcyjną zasilaną
napięciem asymetrycznym
Energia przenoszona przez składową kolejności przeciwnej
nie jest przekształcana na energię mechaniczną
Tak samo jest wtedy, gdy napięcie zasilania
jest odkształcone.
Pw = P p  0
Pr = P n  0
Pw  P
Strata DOCHODÓW
dostawcy energii elektrycznej
sprzedawanej odbiorcom
powodującym odkształcenie prądu i jego asymetrię
jest proporcjonalna
do różnicy między mocą roboczą a mocą czynną
 P = Pw  P
PRZEPŁATA kosztu energii
odbiorcy zasilanego napięciem odkształconym i asymmetrycznym
jest proporcjonalna
do różnicy między mocą czynną a mocą roboczą
 P = P  Pw
Wtedy, gdy podstawą rozliczeń energetycznych
jest energia czynna, Wa,
strona powodująca odkształcenia i asymmetrię
nie jest finansowo odpowiedzialna
za ich skutki
Wtedy, gdy podstawą rozliczeń energetycznych
jest energia robocza, Ww,
strona powodująca odkształcenia i asymmetrię
płaci za ich skutki
Rozliczenia energetyczne oparte na koszcie energii roboczej, Ww
mogłyby tworzyć motywacje ekonomiczne
do poprawy jakości zasilania i do poprawy jakości obciążenia
a tym samym,
do oszczędności energii
Pomiar energii roboczej
wymaga analizy harmonicznej,
ograniczonej jednak do harmonicznej podstawowej prądu i
napięcia
Systemy energetyczne będą się rozwijały
w kierunku systemów inteligentnych,
„smart grids”,
wyposażonych w mieniki
zdolne do cyfrowej analizy sygnałów, DSP
Pomiar energii roboczej Ww przez takie mierniki będzie
tylko zmianą
na poziomie programowym
Główną przeszkodą
dla racjonalizacji podstaw rozliczeń energetycznych
mogą być
- stuletnia tradycja tych rozliczeń na podstawie energii czynnej,
- system przepisów, norm i standardów
- inercja intelektualna
Nie oznacza to jednak,
że nie warto podejmować działań
w tym kierunku.
Systemy energetyczne będą w najbliższej przyszłości
podlegały głębokim zmianom.
Podstawy rozliczeń energetycznych powinny być jedną z nich
Compensation goals
in systems
with nonsinusoidal voltages and currents
Compensators & filters
are used for
the electrical power system (providers & customers together)
performance improvement
&
economic benefits
There are
two different entities
with different and conflicting goals:
Profits maximization
at energy delivery
Cost of energy use
minimization
- Voltage distortion
- Asymmetry
- Voltage RMS variation
- Random disturbances
- HF voltage noise
Supply quality
Loading quality
- Reactive current
- Scattered current
- Unbalanced current
- Current distortion
- Power variation
- Random switching
- HF current noise
- Voltage distortion
- Asymmetry
- Voltage RMS variation
- Random disturbances
- HF voltage noise
Supply quality
Loading quality
- Reactive current
- Scattered current
- Unbalanced current
- Current distortion
- Power variation
- Random switching
- HF current noise
Compensation goals in a very essence are economic,
unfortunately,
we usually are not able to use optimization procedures for compensator control.
It is difficult to express profits reduction in terms of loading quality factors
It is difficult to express cost increase in terms of supply quality factors
Compensator cost (investment & operation) is also a component in optimization procedure
Therefore,
compensation goals
are formulated usually as a reduction of some harmful agents
of the loading quality or/and the supply quality
to a minimum value,
or to a level imposed by standards
Usually compensators are used for
improvement
of degraded loading quality
Compensators are usually used for improvement
of degraded loading quality
Loading quality
- Reactive current
- Scattered current
- Unbalanced current
- Current distortion
- Power variation
- Random switching
- HF current noise
Shunt compensators are needed for that
Reduction
of the supply current three-phase
RMS value
|| i’ ||
and its distortion
is a common objective
of shunt compensation
- Voltage distortion
- Asymmetry
- Voltage RMS variation
- Random disturbances
- HF voltage noise
Degraded supply quality
Compensator should be able to reach
the specified goals
even at
degraded supply quality
This could be particularly important
in micro-grids,
which might be weak systems
with sources of voltage distortion on the provider side
with dominating single-phase
Harmonic Generating Loads
The active current
according to Fryze power theory
is the smallest current of a load which at voltage u(t)
has the active power P
ia (t) = Ge u(t),
Ge =
P
2
|| u ||
.
The remaining current,
df
irF (t)  i (t)  ia (t)
increases only the supply current RMS value and can be compensated
,
j  50 2 sin3 1t A
e  100 2 sin 1t V
i  2(20 sin1t  40 sin 31t ) A
u  2(80 sin1t  40 sin 31t ) V
P = P1+ P3 = 1600  1600 = 0
|| ia ||  0
What is the objective of compensation in this circuit
with zero active current
?
The CPC power theory, unlike Fryze, differentiates two directions of energy flow.
- One, caused by the distribution voltage harmonics, Pn > 0
- Second, caused by the load generated current harmonics, Pn < 0
The active current
according to CPC power theory
is the smallest current of a load which at distribution system originated voltage uD(t)
has the active power PD
df
iaC (t)  GeC uC (t)
df
GeC 
The useless and harmful current
ib = i – iaC = irC + isC + iG
PC
|| uC ||2
When the system is weak
then shunt compensator affects
the load voltage
and
compensation conditions
Compensation can be achieved only in a recursive process
When the system is strong,
shunt compensator does not affect the load voltage
Compensation can be achieved in a single step
Fryze PT approach
CPC PT approach
Recursive process of compensation
converges
to the active current as defined
in the CPC power theory
df
iaC (t)  GeC uC (t)
df
GeC 
PC
|| uC ||2
The active current, both according to Fryze and CPC PTs,
reproduces
the supply voltage distortion and asymmetry
ia (t)  Ge u (t)
iaC (t)  GeC uC (t)
ia (t)  Ge u (t)
iaC (t)  GeC uC (t)
In some situations,
the compensator has to increase
the supply current distortion and asymmetry
There are opinions
that the supply current after compensation
should have
not only the minimum RMS value,
but also be sinusoidal and symmetrical
Such a current is referred to as
working current,
iw or iw
Sometimes shunt compensators are controlled
to achieve such a goal
df
df
df
Gw  G1 
iw (t)  ia1 (t)  Gw u1 (t)
P1
|| u1 ||2
The remaining part of the current can be referred to as a detrimental current
df
id (t)  i(t)  iw (t)
When a compensator is to reduce the supply current to the active current
.
(according
to Fryze or CPC PTs definitions)
then
the compensator current j is orthogonal to the supply voltage u.
There is no permanent energy flow to the compensator
This is not the case when the working current iw is the goal of compensation
The active power of a switching compensator
of purely resistive load is
Pc = (u, j) = (u,  id) = (u,  (i i1)) =  (u, i) + (u, i1) =  P + P1 =  Ph,
Compensator has to deliver energy to the system
at the rate of Ph
Switching compensators are not active,
but passive devices,
thus
this energy has to be delivered to the compensator
by the current fundamental harmonic
Three-phase, three-wire systems
e  e1p  e1n  eh
i  iw +
i1rp
 i1n
df
 ih  iw + id
Switching compensator current
j   id   (i1rp  i1n  ih )
.
Compensator current is not orthogonal
to the supply voltage
(u , j ) = (uw0 + e1n + e h ,  i1rp  i1n  ih ) =  (e1n , i1n )  ( eh , ih ) =  P1n  Ph
Should only the working current remain
after compensation
????
is a debatable question
||ia || < ||i w ||
||iaC || < ||iw ||
Energy loss at delivery
is lower when the supply current is reduced to the active current
than
it is reduced to the working current
When the supply voltage
is nonsinusoidal and asymmetrical, however,
then
the active current is also nonsinusoidal and asymmetrical
Question as to compensation to the active or to the working current
depends
on which side is the compensator.
It is on the provider or on the consumer side
< Energy meter?
Working current
< Energy meter?
Active current