2006/2007

Konkurs Matematyczny
II stopień (rejonowy)
Zadanie 1.
Michał uczęszcza na koło matematyczne, w którym dziewczęta stanowią więcej niż 94%
uczestników. Ilu co najmniej uczestników może liczyć koło?
Zadanie 2.
Jeżeli podzielisz dwucyfrową liczbę naturalną przez iloczyn jej cyfr, to otrzymasz iloraz 2
i resztę z dzielenia 5. Jeżeli zaś przestawisz cyfry tej liczby i podzielisz otrzymaną w ten
sposób nową liczbę przez iloczyn jej cyfr, to otrzymasz iloraz 5 i resztę z dzielenia 2. Znajdź
tę liczbę.
Zadanie 3.
Udowodnij, że dla liczby naturalnej nieparzystej x wyrażenie: x3 + 3x2 - x - 3 jest podzielne
przez 8.
Zadanie 4.
Wykaż, że w każdym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych równa jest
sumie kwadratów długości wszystkich jego boków.
Zadanie 5.
Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AB|=|CD|, |AD|=|BC|
na boku CD takie punkty X i Y, by |AX|=|XY| =|YB|.
(AB| >|AD|). Skonstruuj
1
III stopień (wojewódzki)
Zadanie 1.
Która z liczb jest większa: a =
1111113
4444443
czy b =
?
2222225
8888885
Zadanie 2.
Oblicz pole wielokąta przedstawionego na rysunku
D
E
C
A
B
wiedząc, że |DE| = |DC| = |AB| = 1, |AE| = x |BC| = 1 - x, i 0 < x < 1
Zadanie 3.
Uczniów biorących udział w konkursie matematycznym można umieścić w salach tak,
by w każdej sali była ta sama liczba uczniów, przy czym nie więcej niż 32 osoby w sali.
Kiedy w każdej sali umieścimy po 22 osoby, to dla jednego zawodnika zabraknie miejsca.
Gdy z jednej sali zrezygnujemy, miejsc w pozostałych salach wystarczy dla wszystkich. Ilu
zawodników bierze udział w konkursie oraz ile sal dla nich przygotowano?
Zadanie 4.
Szklankę w kształcie walca o długości średnicy równej d i długości wysokości równej
3
1
d napełniono wodą. Następnie szklankę przechylono tak, że wody wylała się. Wyznacz
2
3
miarę kąta, pod którym przechylono szklankę.
Zadanie 5.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 12 cm i 16 cm. Oblicz średnicę
okręgu
przechodzącą
przez
środek
krótszej
przyprostokątnej
i
stycznego
do przeciwprostokątnej w jej środku.
2