Podstawy rachunku macierzowego

Podstawy rachunku
macierzowego
Definicja macierzy
Macierz to układ m • n liczb rozmieszczonych w m
wierszach i n kolumnach.
 a11
a
21

A


a m1
a12
a 22

am2
 a1n 

 a2n 
 

 a mn 
Macierze i krakowiany to liczby zespołowe.
Dodawanie i odejmowanie liczb zespołowych:
2 3 1 7 3 10
1 4  3 5  4 9 

 
 

5 6 4 7 9 13
A+B=C
cij = aij + bij
2 3 1 7  1  4
1 4  3 5   2  1

 
 

5 6 4 7  1  1
A-B=C
cij = aij - bij
Mnożenie macierzy:
A ( m,n )  B ( n , p )  C ( m, p )
n
cij   aik  bkj
k 1
1


2 1 5 3  2  1  1  3  5  4  25
4
Przykład mnożenia macierzy:
4  -7 9
 3 4   5 7
2 5   2  3  1  0 -1

 
 
A
B
C
8
3



Kontrole sumowe przy mnożeniu:
 3 4
 -7 9 8 10 
4
6 
2 5   5 7





 2  3 1  2
 0 -1 3 2 
  -7 8 11 12 
5 9 


Transponowanie macierzy:
2 4 7 
3 5 6


 2 3
4 5


7 6
A
AT
Rozkład macierzy na czynniki trójkątne:
 a11
a
 21
a31
a12
a13
a 22
a 23
a32
a33
a14   h11
a 24   h21
a34  h31
h22

H
A
4 8 12
2 5 10

2 7 20
A
0  1 g12
0   0 1
h33  0 0
0
h32

T
 4  _4 0


0    _2 1_
14   _2 3_

H
T
g13
g 23
1
g14 
g 24 
g 34 
G
0  1 2_ 3_ -1
_



0   0 1 4_ _
2

2_  0 0 1 _
5 

G
Rozkład macierzy na czynniki trójkątne = wzory:
hi1  ai1
g1 j 
a1 j
h11
j 1
hij  aij   hin  g nj
n 1
i 1
g ij 
aij   hin  g nj
n 1
hii
Zastosowanie rozkładu macierzy na czynniki –
rozwiązywanie układu równań liniowych
a1 x1  b1 x2  c1  0
a2 x1  b2 x2  c2  0
2 x1  4 x2  6  0
4 x1  10 x2  14  0
Zapis macierzowy:
2 x1  4 x2  6  0
4 x1  10 x2  14  0
A x  L  0
2 4   x1   6  0
4 10   x   14  0

  2    
Macierzowy zapis rozwiązania:
2 4  6 
B  A |  L  

4 10  14
2 0 1 2  3
B  H  G |  L'  



4 2 0 1  1
T
G  x  L'
xi  li 
1 2  x1  3
0 1   x   1

  2  
k
x
n i 1
n
 g in
dla i=k, k-1, ... , 1
1
1
