Podstawy rachunku
macierzowego
Definicja macierzy
Macierz to układ m • n liczb rozmieszczonych w m
wierszach i n kolumnach.
a11
a
21
A
a m1
a12
a 22
am2
a1n
a2n
a mn
Macierze i krakowiany to liczby zespołowe.
Dodawanie i odejmowanie liczb zespołowych:
2 3 1 7 3 10
1 4 3 5 4 9
5 6 4 7 9 13
A+B=C
cij = aij + bij
2 3 1 7 1 4
1 4 3 5 2 1
5 6 4 7 1 1
A-B=C
cij = aij - bij
Mnożenie macierzy:
A ( m,n ) B ( n , p ) C ( m, p )
n
cij aik bkj
k 1
1
2 1 5 3 2 1 1 3 5 4 25
4
Przykład mnożenia macierzy:
4 -7 9
3 4 5 7
2 5 2 3 1 0 -1
A
B
C
8
3
Kontrole sumowe przy mnożeniu:
3 4
-7 9 8 10
4
6
2 5 5 7
2 3 1 2
0 -1 3 2
-7 8 11 12
5 9
Transponowanie macierzy:
2 4 7
3 5 6
2 3
4 5
7 6
A
AT
Rozkład macierzy na czynniki trójkątne:
a11
a
21
a31
a12
a13
a 22
a 23
a32
a33
a14 h11
a 24 h21
a34 h31
h22
H
A
4 8 12
2 5 10
2 7 20
A
0 1 g12
0 0 1
h33 0 0
0
h32
T
4 _4 0
0 _2 1_
14 _2 3_
H
T
g13
g 23
1
g14
g 24
g 34
G
0 1 2_ 3_ -1
_
0 0 1 4_ _
2
2_ 0 0 1 _
5
G
Rozkład macierzy na czynniki trójkątne = wzory:
hi1 ai1
g1 j
a1 j
h11
j 1
hij aij hin g nj
n 1
i 1
g ij
aij hin g nj
n 1
hii
Zastosowanie rozkładu macierzy na czynniki –
rozwiązywanie układu równań liniowych
a1 x1 b1 x2 c1 0
a2 x1 b2 x2 c2 0
2 x1 4 x2 6 0
4 x1 10 x2 14 0
Zapis macierzowy:
2 x1 4 x2 6 0
4 x1 10 x2 14 0
A x L 0
2 4 x1 6 0
4 10 x 14 0
2
Macierzowy zapis rozwiązania:
2 4 6
B A | L
4 10 14
2 0 1 2 3
B H G | L'
4 2 0 1 1
T
G x L'
xi li
1 2 x1 3
0 1 x 1
2
k
x
n i 1
n
g in
dla i=k, k-1, ... , 1
1
1
