1. Zasada szufladkowa
Z. 1. Uzasadnij, że wśród dowolnych 14 liczb naturalnych znajdziemy dwie, które przy dzieleniu przez
13 dają tę samą resztę.
Z. 2. Kabel długości 100cm tniemy dowolnie na 6 części. Zakładamy przy tym, że długości wyrażają
się są całkowitą liczbą centymetrów.
a) Uzasadnić, że zawsze któraś z części będzie miała przynajmniej 17 cm.
b) Czy zawsze musi powstać część dłuższa niż 17 cm ?
Z. 3. Pokazać, że dwa dowolne prostopadłościany można ułożyć jeden na drugim tak, aby nic nie
wystawało.
Z. 4. Uzasadnć, że wśród pięciu punktów
wybranych wewnątrz kwadratu wielkości 2 × 2 zawsze są
√
dwa punkty odległe o nie więcej niż 2.
Z. 5. Pokaż, że wśród 10 punktów rzuconych na trójkąt równoboczny o boku 1 znajdziemy dwa w
odległości nie większej niż 1/3.
Z. 6. Pokazać, że wśród 21 studentów zdających egzamin zawsze znajdziemy sześciu, którzy otrzymali
tę samą ocenę. (Skala ocen: 2,3,4,5.)
Z. 7. Studenci zdają 3 egzaminy. Możliwe oceny to 3,4,5. Ilu musi być studentów, abyśmy mieli
pewność, że przynajmniej 10 studentów zaliczy egzaminy z takimi samymi „zestawami” ocen ? Proszę
to zrobić w dwóch wersjach: ważne jest/nie jest ważne z jakiego egzaminu pochodzą oceny.
Z. 8. Maszyna generuje ciągi binarne długości d w sposób, którego nie znamy. Ile ciągów trzeba
wygenerować, aby mieć pewność, że wśród nich będą przynajmniej trzy takie same ? Po znalezieniu
odpowiedniej liczby prosze uzasadnić, że mniejsza nie wystarcza.
Z. 9. Mamy cztery gatunki kwiatów: róże, tulipany, żonkile i frezje. Z kwiatów tych robimy bukiety.
Ile co najmniej kwiatów w musi być w bukiecie, aby mieć pewność, że są w nim przynajmniej trzy
kwiaty tego samego gatunku?
Z. 10. W bębnie maszyny losującej znajdują się liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe. Ile przynajmniej
liczb musimy wylosować, aby mieć pewność, że wylosujemy co najmniej trzy liczby o tej samej liczbie
cyfr?
Z. 11. W zawodach bierze udział n drużyn. Mecze rozgrywane są przez kilka dni, o różnych porach.
Uzasadnij, że w każdym momencie zawodów znajdą się dwie drużyny, które rozegrały do tej pory tę
samą liczbę meczy.
Z. 12. Udowodnić, że wybierając n + 1 liczb spośród 1, 2, 3, . . . , 2n, wśród wybranych liczb zawsze
znajdziemy dwie, z których jedna dzieli drugą.
Z. 13. Wybierzmy dowolnie 10 różnych liczb naturalnych a1 , a2 , . . . , a10 spośród 1, 2, 3, . . . , 100. Pokazać, że w zbiorze {a1 , a2 , . . . , a10 } można wybrać dwa rozłączne podzbiory, dające tę samą sumę.
Z. 14. Udowodnić, że po dowolnym rozłożeniu n kulek do k szuflad znajdziemy szufladę, w której jest
przynajmniej dn/ke kulek.
Z. 15. Udowodnić, że w każdej szufladzie, w której jest 20 sztućców, znajdziemy 7 łyżek, lub 10 noży,
lub 5 widelców.
Z. 16. Znaleźć najmniejszą liczbę połączeń między 8 komputerami i 4 drukarkami, gwarantującą,
że każda czwórka komputerów będzie miała bezpośredni dostęp do czterech różnych drukarek (bez
konfliktu dostępu).
Z. 17. Znaleźć najdłuższy podciąg rosnący i najdłuższy podciąg malejący w ciągu 22, 5, 7, 2, 23, 10,
15, 21, 2, 17.
Z. 18. Ustawić wszystkie liczby ze zbioru {1, 2, 3, 4} w taki ciąg, w którym nie ma podciągu malejącego
ani rosnącego długości 3. Czy jest to mozliwe dla 5 liczb ?
Z. 19. Ustawić wszystkie liczby ze zbioru {1, . . . , 9}, w taki ciąg, w którym nie ma podciągu malejącego
ani rosnącego długości 4.
Z. 20. Pokazć, że spośród dowolnych n4 +1 klocków (prostopadłościanów) można wybrać n+1 i ułożyć
z nich „monotoniczną” wieżę, tzn. wieże, która prześwietlona od góry daje obraz zagnieżdżających się
prostokątów.
1
2
Z. 21. a) Czy wśród pięciu osób zawsze znajdzie się trójka znajomych (tzn. każdy zna każdego) lub
trójka nieznajomych ?
b)(∗) a wśród sześciu ?
Z. 22. (∗) Wewnątrz kwadratu o boku 1 umieszczono 51 punktów. Uzasadnij, że znajdziemy wśród
nich trzy różne, które leżą w kole o promieniu 1/7.
Z. 23. (∗) Każdy punkt okregu malujemy na biało lub czarno.
a) Czy zawsze znajdziemy trzy punkty w jednym z kolorów, które są wierzchołkami trójkąta równobocznego ?
b) Pokaż, że zawsze znajdziemy trzy punkty w jednym z kolorów, które są wierzchołkami trójkąta
równoramiennego ?
Z. 24. (∗) W turnieju szachowym bierze udział 10 zawodników. Rozgrywki toczą się w miastach A
i B. Zawodnicy grają partie każdy z każdym. Udowodnij, że na końcu turnieju na pewno znajdziemy
trzy osoby, które rozegrały wszystkie partie między sobą w mieście A lub cztery osoby, które rozegrały
wszystkie partie między sobą w mieście B.
