Liczby zespolone

Liczby zespolone
1
Denicja: C = R × R = {(a, b);
Dziaªania w
a, b ∈ R}.
C:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Para
(a, 0)
odpowiada liczbie rzeczywistej
a:
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).
Przyjmuj¡c
i = (0, 1)
mamy:
a + bi = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b),
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
2
Liczb¦ zespolon¡
z
mo»na jednoznacznie przedstawi¢ w postaci
z = a + bi,
gdzie
a, b ∈ R.
Na pªaszczy¹nie Gaussa liczbie
nych
z
odpowiada punkt o wspóªrz¦d-
(a, b).
Dziaªania wykonujemy jak na wyra»eniach algebraicznych, pami¦taj¡c o tym, »e
i2 = −1.
Dodawanie:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Mno»enie:
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i.
3
Wªasno±ci dziaªa« na liczbach zespolonych
1.
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
2.
z1 + z2 = z2 + z1
3.
z + 0 = z,
4.
z + (−z) = 0,
zero:
0=0+0·i
gdzie
−z = (−a) + (−b)i
dla
z = a + bi, a, b ∈ R
4
5.
(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3)
6.
z1 · z2 = z2 · z1
7.
z · 1 = z,
jedynka:
1=1+0·i
8. z · z −1 = 1, gdzie z −1 =
a, b ∈ R
9.
a
−b
+ 2
·i
a2 + b2
a + b2
dla
z = a + bi,
(z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3
5
Odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych
Odejmowanie:
z1 − z2 = z1 + (−z2),
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
Dzielenie:
z1
= z1 · z2−1,
z2
a + bi
(a + bi)(c − di)
(a + bi)(c − di)
=
=
.
2
2
c + di
(c + di)(c − di)
c +d
Mamy:
1
= z −1.
z
1 + 2i
(1 + 2i)(2 + 3i)
2 + 3i + 4i + 6i2
=
=
=
Przykªad:
2
2
2 − 3i
(2 − 3i)(2 + 3i)
2 +3
−4 + 7i
4
7
=
=−
+
· i.
13
13
13
6
Pot¦gowanie liczb zespolonych
Dla liczby zespolonej
z
i liczby naturalnej
n>0
przyjmujemy:
z n = |z · z ·{z. . . · z} .
n
Ponadto, je±li
z 6= 0,
to przyjmujemy
z0 = 1
oraz
z −n = (z −1)n = |z −1 · z −1{z· . . . · z −1} .
n
Zauwa»my, »e
(z −1)n = (z n)−1.
m, n zachodz¡ wzory:
m
z
z m+n = z mz n, z m−n = n , z mn = (z m)n.
z
Dla liczb caªkowitych
7
Posta¢ algebraiczna liczby zespolonej:
cz¦±¢ rzeczywista:
cz¦±¢ urojona:
z = a + bi, a, b ∈ R,
Re z = a,
Im z = b,
liczba sprz¦»ona:
z = a − bi.
√
z = 2 − 3i mamy:
√
√
Re z = 2, Im z = − 3, z = 2 + 3i.
Przykªad. Dla
8
Wªasno±ci sprz¦»enia liczby zespolonej
1.
z1 + z2 = z1 + z2
2.
z1 − z2 = z1 − z2
3.
z1 · z2 = z1 · z2
4.
z1
z2
!
=
z1
z2
5.
(z) = z
6.
z=z⇔z∈R
9
Moduª i argument liczby zespolonej
Denicja. Moduªem liczby zespolonej z = a + bi (gdzie a, b ∈ R)
nazywamy liczb¦ rzeczywist¡
|z| =
Przykªad:
|3 + 4i| =
q
a2 + b2.
q
32 + 4 2 =
√
25 = 5.
Na pªaszczy¹nie Gaussa moduª liczby
od liczby
0.
Odlegªo±¢ liczb
z1
i
z2
z
jest równy jej odlegªo±ci
jest równa
|z1 − z2|.
10
Wªasno±ci moduªu:
1.
| − z| = |z|, |z| = |z|
2.
z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = |z|2
3.
|z1 · z2| = |z1| · |z2|
z |z1|
1
4. =
z2
|z2|
5.
|z1 + z2| 6 |z1| + |z2|
11
Denicja.
a, b ∈ R)
Argumentem liczby zespolonej
nazywamy liczb¦ rzeczywist¡
ϕ
z = a + bi 6= 0
(gdzie
speªniaj¡c¡ warunki

a


,
cos
ϕ
=

r
b


 sin ϕ = ,
r
gdzie
r = |z| =
q
a2 + b2.
Argument liczby zespolonej jest okre±lony z dokªadno±ci¡ do wielokrotno±ci
(dla
k ∈ Z)
2π ,
tzn. je±li
jest argumentem liczby
te» jest argumentem liczby
Jako argument liczby
wist¡
ϕ
0
z,
to
ϕ + 2kπ
z.
mo»emy przyj¡¢ dowoln¡ liczb¦ rzeczy-
ϕ.
12
Na pªaszczy¹nie Gaussa argument liczby
z
to miara k¡ta zorien-
towanego, jaki tworzy dodatnia póªo± rzeczywista z póªprost¡ o
pocz¡tku
Liczba
z
0,
przechodz¡c¡ przez
z.
ma jednoznacznie okre±lony argument z przedziaªu
[0, 2π).
Argument ten nazywamy argumentem gªównym.
Oznaczenie argumentu (gªównego):
ϕ = arg z .
Uwaga. Czasami wygodniej jest wybra¢ argument z przedziaªu
(−π, π].
13
Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej
Dla
r = |z|
mamy
a = r cos ϕ, b = r sin ϕ,
wi¦c
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
gdzie
r, ϕ ∈ R, r > 0.
Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:
r(cos ϕ + i sin ϕ) · s(cos ψ + i sin ψ) = rs(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ))
r
r(cos ϕ + i sin ϕ)
= (cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ))
s(cos ψ + i sin ψ)
s
14
Wzór de Moivre'a
(cos ϕ + i sin ϕ)n = (cos nϕ + i sin nϕ)
Przykªad:
(1 + i)100 =
√
π
π 100
=
2(cos + i sin )
4
4
= 250(cos 25π + i sin 25π) = −250.
15
Pierwiastek liczby zespolonej
Pierwiastkiem stopnia
»e
n
liczby
z∈C
nazywamy liczb¦
w∈C
tak¡,
wn = z .
Przykªady.
1) Liczba
liczby
−1,
i
jest pierwiastkiem kwadratowym (tzn. stopnia 2)
liczba
−i
2) Liczby
2, −2, 2i
3) Liczba
1+i
te»!
i
−2i
s¡ pierwiastkami stopnia
jest pierwiastkiem stopnia
100
4
liczby
16.
liczby
−250.
16
Liczba zespolona
z 6= 0
ma dokªadnie
n
pierwiastków stopnia
n.
Je±li
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
gdzie
r, ϕ ∈ R, r > 0,
to wszystkie pierwiastki stopnia
n
liczby
z
s¡ postaci
gdzie
√
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ n
wk = r cos
+ i sin
,
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Na pªaszczy¹nie Gaussa pierwiastki stopnia
lonej s¡ wierzchoªkami
n-k¡ta
n
danej liczby zespo-
foremnego o ±rodku
0.
17
Przykªad. Pierwiastkami stopnia
√
4
liczby
√
2π
2π
− 3 + 3i = 2 3(cos
+ i sin
)
3
3
s¡ liczby
2π + 2kπ 2π + 2kπ
+ i sin 3
3 cos 3
=
q √ 4
2
dla
4
4
√
√
π
kπ
π
kπ 8
4
) + i sin( +
)
= 2 3 cos( +
6
2
6
2
k = 0, 1, 2, 3.
18
Zasadnicze twierdzenie algebry.
Wielomian stopnia
n > 0
o
wspóªczynnikach zespolonych posiada (z uwzgl¦dnieniem krotno±ci) dokªadnie
n
pierwiastków.
Zatem dla dowolnego wielomianu o wspóªczynnikach zespolonych
W (T ) = anz n + an−1z n−1 + . . . + a1z + a0
istniej¡ liczby zespolone
z1 , z2 , . . . , zn
(niekoniecznie ró»ne) takie,
»e
W (T ) = an(z − z1)(z − z2) . . . (z − zn).
Wniosek.
Wielomian stopnia
n > 0
o wspóªczynnikach rzeczy-
wistych mo»na rozªo»y¢ na czynniki stopnia
1
i
2.
19