Zadanie 1.1. Zadanie 1.2. Zadanie 1.3. Zadanie 1.4

Liczby zespolone. ALzG1. Rok akademicki 2016/2017. Wydział MiNI PW
Zadanie 1.1.
Zapisać poniższe liczby zespolone w postaci algebraicznej.
(a)
(d)
3+2i
5+i
√
(b)
3 − 4i (e)
i5
3−4i
√
8+6i
|−3−4i|
(c) (4 + i)(1 − i) 5 − 12i
(f ) Re[(1 + i)2 ] +
2+i
3+i (5
− 2i)
Zadanie 1.2.
Zapisać poniższe liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:
√
√
√
(c) − 3 + 3i
(d) cos α − i sin α
(a) 3 + 3i (b) 6 − i 2
2
(e) i cos α (f ) 2 sin α cos α + i(2 cos α − 1) (g) cos α + sin α + i(sin α − cos α) (h) 1 − cos α + i sin α
W podpunktach (d) − (h) mamy α ∈ R.
Zadanie 1.3.
Obliczyć
√ 2013
√ 30
√
6
n
3+i
1+i 3
(a) (i − 1)25 (b)
1
(c)
(d)
[sin
α
+
i(1
+
cos
α)]
,
n
∈
N
(e)
2
1+i
q
q
p
p
√
√
√
4
(f ) 3 −i
(g) −8 + 8 3i (h) 6 √1−i
(i) 3 (1 + i)6
(j) 4 (i − 3)12
3+i
Zadanie 1.4.
W zbiorze liczb zespolonych rozwiazać
˛
równania:
(a) z 2 − 2z + 5 = 0
(b) z 8 − 17z 4 + 16 = 0
(c) z 2 − 3z − 5i = 3iz (d) 2z + z = 6 + 5i
2
2
(e) 4z + 8|z| = 8
(f ) |z| − 2z = 3 − 4i
(g) (iz)4 = (1 − 2i)4
(h) (z − 1 + i)3 = 8z 3
(i) Re (z(1 + i)) + zz = 0 (j) Re(z 2 ) + iIm (z(1 + 2i)) = −3 (k) z 3 = z
(l) |z|2 z 5 = z
Zadanie 1.5.
Udowodnić, że jeżeli wielomian M (z) zmiennej zespolonej ma wszystkie współczynniki rzeczywiste oraz
jeżeli liczba z0 jest pierwiastkiem tego wielomianu, to również z0 jest pierwiastkiem.
Czy założenie o tym, że współczynniki wielomianu M (z) sa˛ liczbami rzeczywistymi jest istotne?
Zadanie 1.6.
Wiedzac,
˛ że jednym z pierwiastków wielomianu M (z) = z 4 − 6z 3 + 15z 2 − 18z + 10 jest liczba z1 = 2 − i,
wyznaczyć pozostałe pierwiastki.
Zadanie 1.7.
Znaleźć wielomian M (z) o współczynnikach rzeczywistych, stopniu równym n (n ∈ {3, 4}), dla którego
zachodza˛ nast˛epujace
˛ równości: M (2) = M (3 − i) = 0 oraz M (3) = 2013.
Zadanie 1.8.
Udowodnić, że jeżeli liczby ε1 , ε2 , . . . , εn sa˛ różnymi pierwiastkami n-tego stopnia z 1, to:
(a) ε1 + ε2 + . . . + εn = 0
(b) ε1 · ε2 · . . . · εn = (−1)n+1
Zadanie 1.9.
Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej te liczby z, które spełniaja:˛
(a) 4Re(z) − 3Im(z) = 2
(d) |z|2 − 4Re(z) + 6Im(z) = 17
√
(g) |z − 1| + |z + i| = 2 (h) z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0
3
(j) Im(z 6 ) < 0 (k) 0 < Arg zi 6 π2
(l) Arg(z + 2 − i) = π
z−1 z−1
π
(m) z+1 = 2 (n) Arg z+1 = 2
(b) |z + i| = 3
z+3 (e) |z − 3 − 5i| = |z + 2 − i| (f ) z−2i
>1
(i) |z|2 z = z 3
(k) |z − 3| + |z + 3| = 10
(c) |2z − 6 + 4i| = 3
1
Liczby zespolone. ALzG1. Rok akademicki 2016/2017. Wydział MiNI PW
Zadanie 1.10.
Sprawdzić, że zbiór (Z5 , +5 , ·5 ) jest ciałem. Napisać tabelki działań dla tego ciała.
Kiedy (Zn , +n , ·n ) jest ciałem?
Zadanie 1.11.
Niech z1 , z2 b˛eda˛ takimi liczbami zespolonymi, dla których zachodzi |z1 + z2 | =
Obliczyć |z1 − z2 |.
√
3 oraz |z1 | = |z2 | = 1.
Zadanie 1.12.
Udowodnić, że zachodza˛ poniższe równości:
(a)|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2
2
2
2
2
2
2
(b)|z1 + z2 |2 +
|z2 + z3 |2 + |z3 + z1 | =2 |z1 | + |z2 |2 + |z3 | + |z1 + z2 + z3 |
2
(c) 1 − |z1 |
1 − |z2 | = |1 − z1 z2 | − |z1 − z2 |
(d) |z1 + z2 + z3 |2 + | − z1 + z2 + z3 |2 + |z1 − z2 + z3 |2 + |z1 + z2 − z3 |2 = 4(|z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 )
Jaka˛ interpretacj˛e geometryczna˛ ma równość w podpunkcie (a)?
Zadanie 1.13.
Udowodnij, że jeżeli |z1 | = |z2 | = 1 oraz z1 z2 6= −1, to
z1 + z2
∈ R.
1 + z1 z2
Zadanie 1.14.
Niech z1 , z2 , z3 b˛eda˛ liczbami zespolonymi takimi, że |z1 | = |z2 | = |z3 | = r > 0 oraz z1 + z2 + z3 6= 0.
Udowodnij, że:
z1 z 2 + z1 z3 + z2 z3 =r
z1 + z2 + z3
Zadanie 1.15.
Niech z1 , z2 , . . . , zn b˛eda˛ liczbami zespolonymi o takim samym, dodatnim module. Udowodnij, że:


n X
n
n
X
X
zi 

Re
= 0 ⇐⇒
zi = 0
zj
i=1 j=1
Uwaga: Zapis
n
X
i=1
ai oznacza a1 + a2 + a3 + . . . + an .
i=1
Zadanie 1.16.
Udowodnić, że sin 5t = 16 sin5 t − 20 sin3 t + 5 sin t oraz cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + 5 cos t.
Zadanie 1.17.
√
Wiedzac,
˛ że z +
1
=
z
3 oraz |z| = 1 wyznaczyć wartość z n +
1
, gdzie n ∈ N.
zn
Zadanie 1.18.
Znaleźć wszystkie liczby zespolone z takie, że |z| = 1 oraz
z z + =1
z z Zadanie 1.19.
Niech z1 , z2 , z3 b˛eda˛ takimi liczbami zespolonymi, że zachodzi:
z 1 + z 2 + z3 = z1 z2 + z 1 z3 + z2 z 3 = 0
Pokazać, że wówczas |z1 | = |z2 | = |z3 |.
2
Liczby zespolone. ALzG1. Rok akademicki 2016/2017. Wydział MiNI PW
Zadanie 1.20.
Udowodnić, że:
π
5π
7π
9π
(a) cos 11
+ cos 3π
11 + cos 11 + cos 11 + cos 11 =
π
2π
4π
1
(b) cos 9 cos 9 cos 9 = 8
Zadanie 1.21.
Znaleźć wszystkie liczby zespolone z dla których
1
2
1 + z + z2
∈ R.
1 − z + z2
Zadanie 1.22.
Udowodnić, że jeżeli dla różnych liczb zespolonych z1 , z2 zachodzi |z1 | = |z2 |, to również 12 |z1 + z2 | < |z1 |.
Spróbować nadać interpretacj˛e geometryczna.˛
Zadanie 1.23.
Przeprowadzić konstrukcj˛e geometryczna˛ mnożenia liczb zespolonych.
Zadanie 1.24.
Pewien Zwierz zaczyna swoja˛ podróż w lesie, dajmy na to w punkcie M . Jego podróż składa si˛e z 2013
etapów. Każdy etap podzielony jest na trzy odcinki, każdy o długości równej 100 metrów, a po każdym zakończonym odcinku Zwierz skr˛eca o 60◦ w prawo, z wyjatkiem
˛
skr˛etu oddzielajacego
˛
etapy, wtedy skr˛eca
◦
w lewo o 60 . Jak daleko od punktu M b˛edzie znajdował si˛e Zwierz na końcu swojej podróży?
3