Liczby naturalne N = { 0,1,2,3,……,n-1, n, n+1,....}

Liczby
rzeczywiste
©M
Wszystkie liczby, które odpowiadają
punktom na osi liczbowej,
nazywamy liczbami rzeczywistymi.
Podzbiory liczb rzeczywistych
Zbiór liczb
naturalnych
Zbiór liczb
całkowitych
Zbiór liczb
wymiernych
©M
Zbiór liczb
niewymiernych
Liczby naturalne
N = { 0,1,2,3,……,n-1, n, n+1,....}
 Jeżeli różne od zera liczby naturalne n, m i k
spełniają równość n = m·k, to liczba n jest
podzielna przez m i przez k. Liczby m i k to
dzielniki liczby n, a liczba n to wielokrotność
liczby m i k.
 Liczba pierwsza to liczba naturalna k, która
ma dwa różne dzielniki: samą siebie oraz 1.
©M
 Liczba złożona to liczba naturalna mająca
więcej niż dwa dzielniki.
 Liczby względnie pierwsze to dwie liczby
naturalne których jedynym dzielnikiem jest
liczba 1.
 Rozkład na czynniki pierwsze to
przedstawienie liczby naturalnej w postaci
iloczynu liczb pierwszych.
przykład
420
2
210
2
105
3
35
5
7
7
1
420 = 22 ·3·3·5·7
©M
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
Każda liczba złożona jest iloczynem liczb
pierwszych. Rozkład ten jest dla danej liczby
jednoznaczny z dokładnością do porządku
czynników.
NWD(m,n) – największy wspólny dzielnik liczb
naturalnych m, n to największy ze wszystkich
dzielników tych liczb.
NWW(m,n) - najmniejsza wspólna wielokrotność
liczb naturalnych m, n jest to najmniejsza ze
wszystkich wspólnych wielokrotności tych
liczb.
©M
Działania
a ·b = c
a+b=c
składniki
suma
czynniki
iloczyn
ab=c
a–b=c
odjemna odjemnik różnica
dzielna
©M
iloraz
dzielnik
Cechy podzielności
dzielnik
2
3
4
5
6
8
9
cechy podzielności
cyfrą jedności jest 0, 2,4,6 albo 8
suma cyfr liczby jest podzielna przez 3
liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry
dzieli się przez 4
ostatnią cyfrą liczby jest 5 albo 0
liczba jest podzielna przez 2 i przez 3
liczba utworzona przez trzy ostatnie cyfry tej
liczby dzieli się przez 8
suma cyfr liczby ©M
dzieli się przez 9
Liczby całkowite
to liczby naturalne i do nich przeciwne.
C = {…...-3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…...}
Liczby parzyste - to liczby, które są podzielne
przez 2; postać tej liczby a=2k, gdzie kC.
Liczby nieparzyste - to liczby, które nie są
podzielne przez 2; postać a = 2k +1 gdzie k C
©M
Liczby wymierne
to liczby postaci
m
n
,gdzie m, n C i n0
Liczbę wymierną możemy zapisać w postaci ułamka
dziesiętnego. Rozwinięcie dziesiętne liczby p
q
otrzymujemy, wykonując dzielenie p przez q.
Np.
3
 0,12
25
3
 0,75
4
2
 0,18181818 ....  0, (18)
11
okres rozwinięcia
dziesiętnego
©M
1
 0,1666 ....  0,1(6)
6
Długość okresu 1 – liczba cyfr,
z których składa się okres.
 Jeżeli liczba rzeczywista ma rozwinięcie
dziesiętne skończone lub nieskończone
okresowe, to liczba jest wymierna.
 Każdą liczbę wymierną można przedstawić w
postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego
i nieskończonego okresowego.
Zamienić na ułamek liczbę 0,(23)
Oznaczamy przez a=0,23232323……. ·100
100a = 23,232323…….
czyli
100a = 23 +a
a więc po odjęciu mamy 99a = 23
23
Stąd
a
99
©M
Reguły działań na liczbach
wymiernych
a c ac
 
b b
b
a c ac
 
b d bd
a c ad  bc
 
b d
bd
b ab
a 
c
c
a c a d ad
   
b d b c bc
a c ad  bc
 
b d
bd
©M
Liczby niewymierne
to liczby, które nie możemy przedstawić
w postaci ułamka.
Przykłady:
2
3
4 3 6
5
Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie
dziesiętne nieskończone i nieokresowe.
©M
Konstrukcja odcinków o długościach
niewymiernych
©M
Każda liczba rzeczywista jest liczbą wymierną
albo niewymierną.
R
Zależności
 NCWR
NC =C
 W  IW = R
WC=C
NC W=W
NC=N
 W  IW = 
WN=N
©M
©M