Zadanie 1. Zamień ułamek okresowy 0,(37) na ułamek zwykły

Zadanie 1. Zamień ułamek okresowy 0,(37) na ułamek zwykły.
Rozwiązanie:
1. Oznaczamy przez x dany ułamek okresowy.
x = 0,(37)
2. Mnożymy ten ułamek przez 100:
x = 0,37373737…..
100x = 37,373737….
3. Wykonujemy odejmowanie stronami:
100x – x = 37,373737… - 0,37373737…..
Liczby po przecinku redukują się podczas odejmowania, zatem otrzymujemy:
99x = 37
4. Pozbywamy się liczby przy x dzieląc obustronnie przez 99:
99x = 37 : 99
37
𝑥=
99
5. Zatem 0,(37) =
37
99
Zadanie 2. Oblicz wartość wyrażenia 2𝑥𝑦 −2 +
1
3
𝑥𝑧 −1 dla 𝑥 = 2, (3), 𝑦 = 0, (4) oraz 𝑧 = 0, (9).
Rozwiązanie:
1.
Zamieniamy ułamki okresowe na zwykłe:
3
1
9
3
𝑥 = 2, (3) = 2 = 2
4
y = 0, (4) =
9
9
z = 0, (9) =
2.
9
=1
Podstawiamy liczby pod znaki w wyrażeniu i wyliczamy:
1
2𝑥𝑦 −2 +
3
1
1
9
3
3
9 2
1 7
7
81
3
4
3 3
3
16
7∙27
8
4
3
7
=2∙ ∙( ) +
=
1
𝑥𝑧 −1 = 2 ∙ 2 ∙ ( )−2 + ∙ 2 ∙ 1−1 =
7
189
9
8
+ =
∙ = 2∙ ∙
7
189∙9
9
8∙9
+ =
+
7
+ =
9
8∙7
8∙9
=
1701
72
+
56
72
=
1757
72
= 24
29
72
Zadanie 3. Sprawdź czy liczba √4 − √12 + √4 + 2√3 jest liczbą wymierną czy niewymierną.
Rozwiązanie:
1.
Oznaczamy przez x całe wyrażenie:
x = √4 − √12 + √4 + 2√3
2.
Podnosimy do potęgi drugiej obie strony wyrażenia:
x2 = (√4 − √12 + √4 + 2√3)2
3.
Po prawej stronie równości stosujemy wzór skróconego mnożenia: (a + b)2 = a2 + 2ab +b2
a = √4 − √12
b = √4 + 2√3
x2 = (√4 − √12 )2 + 2√4 − √12 √4 + 2√3 + (√4 + 2√3)2
x2 = 4-√12+2√(4 − √12)(4 + 2√3)+ 4 + 2√3
x2 = 8 + 2√42 − √122
x2 = 8 + 2√16 − 12
x2 = 8 + 2√4
x2 = 8 + 4
x2 = 12
x = √12 = √4 ∙ 3 = √4  √3 = 2√3 <- liczba niewymierna
Zadanie 4. Oblicz liczbę przeciwną do odwrotności liczby
2+ √3
√5
.
Rozwiązanie:
2+ √3
1.
Znajdujemy liczbę odwrotną do liczby
2.
Liczba odwrotna:
3.
Usuwamy niewymierność z mianownika:
√5 (2− √3 )
(2+ √3)(2− √3)
=
√5
zamieniając licznik ułamka z mianownikiem.
√5
2+ √3
2√5− √15
22 − √3
2
=
2√5− √15
4−3
=
2√5− √15
1
= 2√5 − √15
4.
Znajdujemy liczbę przeciwną do liczby 2√5 − √15.
5.
Liczba przeciwna:
−(2√5 − √15)
6.
Minus przed nawiasem zmienia znaki w nawiasie:
−(2√5 − √15) = √15 − 2√5
7. Szukana liczba: √15 − 2√5
Zadanie 5. Oblicz wartość wyrażenia
1
3 − √6
−
1
3 + √6
.
Rozwiązanie:
1.
Usuwamy niewymierność z mianowników:
1(3+ √6)
1(3 − √6)
− (3 + 6)(3 − 6)
(3 − √6)(3+ √6)
√
√
2.
W mianownikach stosujemy wzory skróconego mnożenia: (a – b)(a + b) = a2 – b2
1(3+ √6)
2
32 − √6
3.
−
1(3 − √6)
2
32 − √6
Wykonujemy potęgowanie w mianownikach ułamków:
1(3+ √6)
1(3 − √6)
− 9−6
9−6
4.
Zapisujemy działanie na jednej kresce ułamkowej:
! Pamiętamy o tym, że minus przed nawiasem zmienia znak w nawiasach!
3+ √6−(3− √6 )
9−6
=
3+ √6−3+ √6
9−6
=
2√6
3
Zadanie 6. Wykaż, że |4 − 2√5| − √20 jest liczbą wymierną.
Rozwiązanie:
1.
Sprawdzamy, czy wyrażenie 4 − 2√5 jest dodatnie, czy ujemne: (√5 ≈ 2,24)
4 - 2√5 ≈ 4 − 2 ∙ 2,24 = 4 − 4,48 < 0
2.
Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, zatem opuszczając wartość bezwzględną znak wyrażenia
zamieniamy na przeciwny:
Pamiętajmy o możliwości wyciągnięcia czynnika przed znak pierwiastka!
|4 − 2√5| − √20 = - (4 − 2√5) − √20 = - 4 + 2√5 - √20 = - 4 + 2√5 - √4 ∙ 5 =
- 4 + 2√5 - √4 ∙ √5 = - 4 + 2√5 - 2√5 = -4 <– liczba wymierna
Zadanie 7. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych
długości: √5 – 1 oraz √5 + 1.
Rozwiązanie:
Wykonujemy rysunek pomocniczy
x
√5 − 1
1.
√5 + 1
2.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
x2 = (√5 – 1)2 + (√5 + 1)2
3.
Prawą stronę równania rozpisujemy za pomocą wzorów skróconego mnożenia.
x2 = 5 - 2√5 +1 + 5 + 2√5 +1
x2 = 12
x = √12 = √4 ∙ 3 = √4  √3 = 2√3
Zadanie 8. Zaokrąglij liczbę 30,6301 do części dziesiątych i określ błąd bezwzględny i względny
przybliżenia.
Rozwiązanie:
1.
Zaokrąglamy liczbę do części dziesiętnych, czyli do jednego miejsca po przecinku:
30,6301 ≈ 30,6
a = 30,6301
b = 30,6
2.
Błąd bezwzględny:
|𝑏 − 𝑎| = |30,6 − 30,6301| = |− 0,0301| = 0,0301 3.
Błąd względny (podamy w postaci procentowej, z przybliżeniem do części dziesiętnych):
|𝑏−𝑎|
𝑎
∙ 100% =
0,0301
30,6301
|30,6−30,6301|
30,6301
∙ 100% =
|− 0,0301|
30,6301
∙ 100% =
∙ 100% = 0,00098269 ∙ 100% = 0,098269% ≈ 0,1%
Zadanie 9. Wyznacz wszystkie elementy zbiorów A i B, a następnie podaj: A ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵 oraz 𝐵 ∖ 𝐴.
Rozwiązanie:
A – zbiór liczb naturalnych x spełniających warunek 𝑥 ≤ √37,
B – zbiór liczb całkowitych spełniających warunek -3 < 𝑥 < 8
1.
Wyznaczamy zbiór:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
oraz zbiór
B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
2.
Wyznaczamy zbiór:
A ∩ 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} – wypisujemy te elementy zbiorów A i B, które występują jednocześnie we zbiorze A i B.
3.
Wyznaczamy zbiór:
𝐴 ∪ 𝐵 = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - wypisujemy te wszystkie elementy zbiorów A i B, które występują w zbiorze A
i w zbiorze B, elementy powtarzające się wypisujemy tylko raz
4. Wyznaczamy zbiór
𝐵 ∖ 𝐴 = {-2, -1, 7} – ze zbioru B wyrzucamy te elementy, które występują w A.
Zadanie 10. Wyznacz zbiory A ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∖ 𝐵 oraz 𝐵 ∖ 𝐴, jeśli A = <-4, 6) i B = (-1, 8>.
Rozwiązanie:
1.
Zaznaczamy na osi liczbowej zbiór A i B:
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2.
A ∩ 𝐵 = (-1; 6) – podajemy to co się „nakłada”
3.
𝐴 ∪ 𝐵 = <-4; 8> - podajemy przedział odczytując kolejno od lewej do prawej
4.
𝐴 ∖ 𝐵 = <-4; -1> - ze zbioru A wyrzucamy iloczyn A ∩ 𝐵 przedział otwarty w (-1) zmieniamy na domknięty
5.
𝐵 ∖ 𝐴 = <6; 8> - ze zbioru B wyrzucamy iloczyn A ∩ 𝐵 przedział otwarty w 6 zmieniamy na domknięty.
Zadanie 11. Zapisz w postaci przedziału zbiór liczb rzeczywistych spełniających równanie:
|3 − 2𝑥| = 2𝑥 − 3
Rozwiązanie:
1.
Prawa strona równania wskazuje, że 3 − 2𝑥 ≤ 0
2.
Rozwiązujemy nierówność: 3 − 2𝑥 ≤ 0
- 2𝑥 ≤ −3 |: (−2)
3
𝑥≥
2
𝑥 ≥ 1,5
𝑥 𝜖 < 1,5; ∞)