Wykład dwunasty Rozkłady warunkowe zmiennych losowych

Wykład dwunasty
Rozkłady warunkowe zmiennych losowych
Warunkowa wartość oczekiwana i warunkowa wariancja
Niech (X, Y ) b˛edzie dwuwymiarowa˛ zmienna˛ losowa.˛
Definicja 1. Niech B b˛edzie zdarzeniem takim, że P (B) > 0. Jeśli dla każdego zbioru borelowskiego A
znajdziemy prawdopodobieństwa
P (X ∈ A|B) (P (Y ∈ A|B))
to otrzymamy rozkład warunkowy zmiennej losowej X (lub odpowiednio Y ) pod warunkiem B.
1. Przypadek, gdy (X, Y ) ma rozkład dyskretny
Definicja 2. Niech (X, Y ) ma rozkład dyskretny. Wtedy:
1. Jeśli przy ustalonym yk ∈ SY , dla każdego xi ∈ SX znajdziemy
P (X = xi |Y = yk ) =
P (X = xi , Y = yk )
,
P (Y = yk )
to otrzymamy rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem {Y = yk }.
2. Jeśli przy ustalonym xi ∈ SX , dla każdego yk ∈ SY znajdziemy
P (Y = yk |X = xi ) =
P (X = xi , Y = yk )
,
P (X = xi )
to otrzymamy rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem {X = xi }.
Uwaga. Przy ustalonym yk ∈ SY
X
P (X = xi |Y = yk ) = 1.
xi :(xi ,yk )∈SXY
Podobnie, przy ustalonym xi ∈ SX
X
P (Y = yk |X = xi ) = 1.
yk :(yk ,xi )∈SXY
Definicja 3. Dystrybuanta˛ rozkładu warunkowego zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia B takiego,
że P (B) > 0 nazywamy funkcj˛e FX (x|B) : R → [0; 1] taka,˛ że
FX (x|B) = P (X < x|B) =
P ((X < x) ∩ B)
.
P (B)
FY (y|B) = P (Y < y|B) =
P ((Y < y) ∩ B)
.
P (B)
Analogicznie:
Twierdzenie 1. Niech wektor (X, Y ) ma rozkład dyskretny.
1. Dystrybuanta zmiennej losowej X pod warunkiem {Y = yk } jest postaci
X
FX (x|Y = yk ) =
P (X = xi |Y = yk ).
(xi ,yk )∈SXY :xi <x
2. Dystrybuanta zmiennej losowej Y pod warunkiem {X = xi } jest postaci
X
FY (y|X = xi ) =
P (Y = yk |X = xi ).
(xi ,yk )∈SXY :yk <y
1
3. Warunkowa wartość oczekiwana
Definicja 4. Jeśli (X, Y ) ma rozkład dyskretny, to:
1. Warunkowa˛ wartość oczekiwana˛ zmiennej losowej X pod warunkiem {Y = y} definiujemy jako
X
xi · P (X = xi |Y = yk ),
E(X|Y = yk ) =
xi ∈SX
przy założeniu, że powyższy szereg jest bezwzgl˛ednie zbieżny.
2. Warunkowa˛ wartościa˛ oczekiwana˛ zmiennej losowej Y pod warunkiem {X = xi } definiujemy jako
X
yk · P (Y = yk |X = xi ),
E(Y |X = xi ) =
yk ∈SY
przy założeniu, że powyższy szereg jest bezwzgl˛ednie zbieżny.
Uwaga. Warunkowa˛ wartość oczekiwana˛ E(X|Y = yk ) interpretujemy jako średnia˛ wartość przyjmowana˛
przez zmienna˛ losowa˛ X, gdy Y = yk .
4. Warunkowa wariancja
Definicja 5. Jeśli X jest zmienna˛ losowa˛ rz˛edu drugiego, to warunkowa˛ wariancja˛ X pod warunkiem {Y = y}
definiujemy jako
2
V (X|Y = y) = E (X − E(X|Y = y)) |Y = y .
Twierdzenie 2. Jeśli X jest zmienna˛ losowa˛ rz˛edu drugiego, to
2
V (X|Y = y) = E(X 2 |Y = y) − (E(X|Y = y)) .
2