3. Dowody 1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b

wstęp do matematyki, 1mie, 2008/2009
3. Dowody
3. Dowody
1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
a2 − 2ab(b − 1) > −b2 (1 + 2a).
2. Udowodnij, że liczba naturalna n jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy n jest
podzielna przez 3 i jest podzielna przez 2.
3. Udowodnij, że liczby 2007 nie da się przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.
4. Udowodnij metodą „nie wprost”, że suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną.
5. Wykaż, że jeśli liczby a, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to
3(a2 + b2 + c2 ) = 6(a − b)2 + (a + b + c)2 .
6. Udowodnij, że jeżeli a, b, c, d są liczbami nieparzystymi, to nie istnieje taka liczba całkowita
x, aby zachodziła równość x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0.
7. Liczby całkowite a, b, c, d spełniają warunek a + b + c + d = 0. Udowodnij, że liczba a2 +
b2 + c2 + d2 jest sumą kwadratów trzech liczb całkowitych.
1