Zadania

1. Przestrzenie liniowo-topologiczne.
Niech τ będzie topologią na przestrzeni liniowej X nad ciałem F taką, że
(1) każdy punkt przestrzeni X jest zbiorem domkniętym
(2) działania
(a) X × X 3 (x, y) −→ x + y ∈ X
(b) F × X 3 (λ, x) −→ λx ∈ X
są ciągłe.
Jeśli powyższe warunki są spełnione, to τ nazywamy topologią liniową na przestrzeni liniowej X,
zaś X nazywamy przestrzenią liniowo-topologiczną.
Dla podzbiorów A, B ⊂ X oraz α ∈ F niech
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B},
αA = {αa : a ∈ A}.
Podzbiór C ⊂ X przestrzeni liniowo-topologicznej X nazywamy
(1) wypukłym, jeśli tx + (1 − t)y ∈ C dla dowolnych x, y ∈ C oraz t ∈ [0, 1],
(2) zbalansowanym, jeśli αC ⊂ C dla każdego |α| ¬ 1,
(3) ograniczonym, jeśli dla dowolnego otoczenia zera V istnieje liczba s > 0 taka, że C ⊂ tV
dla wszystkich t > s,
Zadania
Zadanie 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. W przestrzeni
FX := {f : X −→ F}
dla dowolnego f ∈ FX , ε > 0 oraz dowolnego skończonego zbioru Y ⊂ X, definiujemy zbiory
Uε,Y (f ) := {g ∈ FX : |f (ω) − g(ω)| < ε, ω ∈ Y }.
Udowodnić, że rodzina {β(f ) : f ∈ FX }, gdzie
β(f ) := {Uε,Y (f ) : ε > 0, Y ⊂ X, Y zbiór skończony}
jest rodziną zbiorów wypukłych i spełnia założenia twierdzenia o wprowadzaniu topologii za pomocą
pełnego układu otoczeń w FX , to znaczy
(1) β(f ) 6= ∅ oraz f ∈ U dla każdego U ∈ β(f ),
(2) dla każdego f, g ∈ FX , jeśli f ∈ U oraz U ∈ β(g), to istnieje V ∈ β(f ) takie, że V ⊂ U ,
(3) dla każdego U1 , U2 ∈ β(f ) istnieje V ∈ β(f ) takie, że V ⊂ U1 ∩ U2 .
Zadanie 2. Udowodnić, że FX z wyżej określoną topologią jest przestrzenią liniowo-topologiczną,
tzn.
(1) dla każdego f ∈ FX zbiór {f } jest domknięty,
(2) działanie FX × FX 3 (f, g) −→ f + g ∈ FX jest ciągłe,
1
2
(3) działanie F × FX 3 (λ, f ) −→ λf ∈ FX jest ciągłe.
Zadanie 3. Wykazać, że jeżeli X = {x1 , . . . , xn }, to topologia przestrzeni FX pokrywa się z topologią zadaną przez normę
kf k =
n
X
|f (xk )|,
f ∈ FX .
k=1
Zadanie 4. Dowieść, że jeżeli X = {x1 , . . . , xn }, to odwzorowanie
FX 3 f −→ (f (x1 ), . . . , f (xn )) ∈ Kn
jest liniowym homeomorfizmem.
Zadanie 5. Niech | · | oznacza standardową odległość w R. Zdefiniujmy
d(x, y) =
|x − y|
,
1 + |x − y|
x, y ∈ R.
(1) Wykazać, że d jest metryką na R.
(2) Wykazać, że metryki d oraz | · | są równoważne1.
(3) Wykazać, że R z metryką d jest zbiorem domkniętym i ograniczonym w sensie metryki2.
(4) Czy R z metryką d jest zbiorem zwartym.
Zadanie 6. Dowieść, że jeżeli X = {x1 , x2 , . . .} jest zbiorem przeliczalnym, to topologia przestrzeni
FX jest równoważna topologii zadanej przez metrykę
d(f, g) =
∞
X
|f (xk ) − g(xk )|
.
k (1 + |f (x ) − g(x )|)
2
k
k
k=1
Zadanie 7. Udowodnić, że jeżeli zbiór X jest zbiorem nieskończonym, to topologia przestrzeni FX
nie pochodzi od żadnej normy3.
Zadanie 8. Udowodnić, że jeżeli X jest zbiorem nieprzeliczalnym, to przestrzeń FX jest przestrzenią topologiczną niemetryzowalną4.
1
2
3
4
Tzn. zbiory otwarte w obu metrykach są takie same.
Tzn. sup{d(x, y) : x, y ∈ X} < ∞.
Wskazówka: nie ma ograniczonego otoczenia zera.
Wskazówka: nie ma przeliczalnej bazy otoczeń zera.