Wydział matematyczno-Przyrodniczy

Uniwersytet Rzeszowski
Wydział matematyczno-Przyrodniczy
ZADANIA WIELOETAPOWE
Monika Łokaj
Rzeszów 2007
Zadanie 1.
Oblicz sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do n.
Weźmy pod uwagę znaną nam tożsamość:

nR
( n  1 )2  n 2  2  n  1
Wypiszmy jej szczególne przypadki dla kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Otrzymujemy
wówczas n następujących równości:
2 2  ( 1  1 )2  12  2 1  1
3 2  ( 2  1 )2  2 2  2  2  1
4 2  ( 3  1 )2  3 2  2  3  1
......................................
......................................
( n  1 )2  n 2  2  n  1.
Dodajmy te równości stronami
2 2  32  ...  ( n  1 )2  ( 12  2 2  32  ...  n 2 )  2  ( 1  2  3  ...  n )  n .
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy:
( n  1 )2  1  2  ( 1  2  3  ...  n )  n .
Przekształcając tą równość otrzymujemy wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych:
( n  1 )2  n  1 n  ( n  1 )
1  2  3  ...  n 

.
2
2
Oznaczmy S1  1  2  3  ...  n 
n  ( n 1)
.
2
Aby sprawdzić czy powyższe rozumowanie jest poprawne, a otrzymany wzór prawdziwy,
przeprowadźmy dowód indukcyjny.
1. Sprawdzamy, czy dla n=1 prawdziwy wzór.
L 1
1 ( 1  1 )
1 P
2
2
2. Założenie indukcyjne:
Teza indukcyjna:

n N

n N
1  2  3  ...  n 
n ( n 1)
.
2
1  2  3  ...  n  ( n  1 ) 
( n 1 ) ( n  2 )
.
2
Niech n będzie dowolna liczbą naturalną.
1  2  3  ...  n  ( n  1 ) 
( n 1)( n  2 )
.
2
Korzystając z założenia otrzymujemy:
n ( n 1)
( n 1)( n  2 )
 ( n 1) 
|| 2
2
2
n 2  n  2n  2  n 2  2n  n  2
0  0 , co jest oczywiście prawdą.
Na podstawie zasady indukcji matematycznej pokazaliśmy, że dany wzór jest prawdziwy.
Zastanówmy się jak otrzymać wzór na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych od 1 do n i czy
możemy postępować podobnie jak przy zadaniu 1.
Zadanie 2.
Oblicz sumę potęg kolejnych liczb naturalnych od 1 do n.
Weźmy pod uwagę tożsamość:

nR
( n  1 )3  n 3  3  n 2  3  n  1
Postępując analogicznie jak poprzednio otrzymujemy:
2 3  13  3 12  3 1  1
33  2 3  3  2 2  3  2  1
4 3  33  3  3 2  3  3  1
......................................
......................................
( n  1 )3  n 3  3  n 2  3  n  1
Dodając te równości stronami i tak, jak poprzednio wykonując możliwe redukcje
otrzymujemy:
3
( n  1 )3  1  3( 12  2 2  32  ...  n 2 )  3  ( 1  2  3  ...  n )  n .
Korzystając z oznaczenia S1  1  2  3  ...  n 
n  ( n 1)
możemy zapisać:
2
( n  1 )3  1  3( 12  2 2  32  ...  n 2 )  3  S1  n .
Przekształcając to równanie otrzymujemy wzór na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych od
1 do n:
12  2 2  32  ...  n 2 
n ( n 1)( 2  n 1)
6
a następnie możemy oznaczyć tę sumę przez S 2  12  2 2  32  ...  n 2 
n  ( n 1 ) ( 2  n 1 )
.
6
Analogicznie jak w poprzednim przykładzie, aby sprawdzić czy powyższe
rozumowanie jest poprawne, a otrzymany wzór prawdziwy, powinniśmy przeprowadzić
dowód indukcyjny ale go pomińmy.
Uogólniając i przeprowadzając analogiczne rozumowanie jak w poprzednich
zadaniach, wykorzystując znaną nam tożsamość

nR
( n  1 ) 4  n 4  4n 3  6n 2  4n  1
możemy uzyskać wzór na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych do 1 do n.
Zadanie 3.
Oblicz sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych od 1 do n.
Do obliczenia tego zadania wykorzystamy kolejny ze znanych nam wzorów:

nR
( n  1 ) 4  n 4  4n 3  6n 2  4n  1 .
Oznaczmy przez S 3  13  2 3  33  ...  n 3 .
Zauważmy, że aby obliczyć S 2 musieliśmy skorzystać z znalezionego wcześniej
wzoru na S1 , przypuszczamy więc, że przy obliczaniu S 3 trzeba będzie korzystać z wzorów
na S1 i S 2 .
Po odpowiednich obliczeniach otrzymujemy:
4
( n  1)4  1  4  S 3  6  S 2  4  S1  n
Stąd podstawiając za S1 i S 2 obliczone poprzednio wartości znajdujemy S 3
2
 n  ( n  1 )
S3  
 .
2


W ten sposób uświadamiamy sobie, że rozważany pomysł zastosowany do obliczania
sumy kolejnych liczb naturalnych jest tylko częścią pewnego, ogólnego, rekurencyjnego
schematu. Schemat ten prowadzi do znalezienia wzoru na S k  1k  2 2  3k  ...  n k .
Zadanie 4.
Oblicz sumę k-tej potęgi kolejnych liczb naturalnych od 1 do n.
Wychodzimy ze wzoru dwumianowego Newtona
 k  1 k  k  1 k 1
 k  1
  n  
  n  ...  
  n  1 .
( n  1 )k 1  n k 1  
 1 
 2 
 k 
Po zsumowaniu szczególnych przypadków tego wzoru dla kolejnych liczb naturalnych od 1
do n otrzymujemy:
 k  1
 k  1
 k  1
  S k  
  S k 1  ...  
  S1  1
( n  1 )k 1  1  
1
2
k






Gdy dodatkowo oznaczymy przez S 0 sumę:
S 0  10  2 0  30  ...  n 0  n to otrzymany wzór przyjąłby postać:
 k  1
 k  1
 k  1
 k  1
  Sk  
  Sk 1  ...  
  S1  
  S0 .
( n  1 )k 1  1  
 1 
 2 
 k 
 k  1
Stąd znajdujemy S k .
 k  1
 k  1
 k  1
  S k 1  ...  
  S1  
  S0
( n  1 )k 1  1  
2 
k 
k  1



.
Sk 
 k  1


 1 
5
Widzimy, że w miarę przenoszenia metody postępowania na kolejne analogiczne
tożsamości udało się nam otrzymać rezultat, którego nie oczekiwaliśmy: ogólny związek
między sumami od S 0 , S1 do S k .
Zauważmy, że we wszystkich obliczonych przez nas przykładach (bądź innych,
wyprowadzonych ze wzoru ogólnego S k ) występują liczby Bernoulliego z pominięciem
znaku:
B0  1
B1  
1
2
1
6
B3  0
B2 
B4  
1
30
B5  0
B6 
1
...
42
Wyrazy B2 n1  0 .
Stosujemy te liczby w bardzo wielu działach matematyki, nawet w tych bardzo związanych z
zastosowaniami.
Możemy zauważyć także postać rekurencyjną obliczania sumy k-tych potęg kolejnych
liczb. Tworzymy trójkąt, którego elementy oznaczamy przez A( k , s ) :
s=1
k=1
1
s=2
k=2
1
2
s=3
k=3
1
6
6
s=4
k=4
1
14
36
24
s=5
k=5
1 30 150 240 120
......................................................................................
6
według następującej reguły: 1 na lewym boku, silnie z prawej strony a każdy inny wyraz
(s-tego ukośnego rzędu) jest suma wyrazów stojących bezpośrednio nad nim mnożąc przez s.
Mamy teraz:
k
 n  1
 A( k , s ) .
1k  2 k  3k  ...  n k   
s 1  s  1 
Starając się jeszcze bardziej uogólnić zadanie początkowe zastanówmy się, co stanie
się gdy zwiększymy wymiar przestrzeniu i będziemy rozważali już nie liczby z przestrzeni N
a pary liczb z N×N.
Zadanie 5. Obliczyć sumę kolejnych par liczb naturalnych od (1, 1) do (n, n), gdzie
dla dowolnych par (a, a) i (b, b) z zbioru N×N definiujemy działanie dodawania w
następujący sposób: (a, a)+(b, b)=(a+b, a+b)=(c, c)  N×N.
Obliczamy sumę:
(1, 1)+(2, 2)+...+(n, n)
Korzystając z powyższej definicji działania dodawania otrzymujemy:
(1+2+...+n, 1+2+...+n)
Jest to para składająca się z dwóch elementów, które są sumami kolejnych liczb naturalnych
od 1 do n więc możemy skorzystać z wcześniejszych rozważań (Zadanie 1)
S ( 1,1 ) =(
n ( n 1) n ( n 1)
,
).
2
2
Zadanie 6. Obliczyć sumę kolejnych parzystych liczb naturalnych.
Zauważmy pewną własność:
Kolejne pary liczb naturalnych (a, a)
Suma a+a
(1, 1)
2
(2, 2)
4
(3, 3)
6
........
.....
........
.....
(n, n)
2n
7
Zatem dodając elementy par otrzymujemy kolejne liczby parzyste.
Na podstawie poprzedniego zadania wiemy, że suma kolejnych par liczb naturalnych wynosi
S ( 1,1 ) =(
n ( n 1) n ( n 1)
,
); zatem suma kolejnych liczb parzystych wyraża się wzorem:
2
2
n ( n 1) n ( n 1)
+
= n  ( n  1)  n 2  n .
2
2
Powyższy wzór należy sprawdzić indukcyjnie.
Zadanie 7. Obliczyć sumę kolejnych nieparzystych liczb naturalnych.
Zastanówmy się jak otrzymać liczby nieparzyste. Zauważmy, że wystarczy od liczby
parzystej odjąć 1.
Suma a+a
a+a-1
(kolejne liczby
(kolejne liczby
parzyste)
nieparzyste)
(1, 1)
2
1
(2, 2)
4
3
(3, 3)
6
5
........
.....
....
........
.....
....
(n, n)
2n
2n-1
Kolejne pary liczb naturalnych (a, a)
Zatem, analogicznie jak poprzednio wzór na sumę kolejnych liczb nieparzystych będzie
wyrażał się wzorem:
(
n ( n 1) n ( n 1)
+
)-n= n  ( n  1 )  n  n 2  n  n  n 2 .
2
2
Wzór należy udowodnić indukcyjnie.
później ich kwadratów, sześcianów a na końcu k-tej potęgi tych par. Automatycznie nasuwa
się pytanie czy można zwiększać wymiar dochodząc do przestrzeni n-wymiarowej. Jednak te
pytania pozostawimy na razie bez odpowiedzi.
8