Wykład 7

WYKŁAD 7. TWIERDZENIA GRANICZNE.
 Definicja słabej zbieżności.
Ciąg dystrybuant Fn nazywamy słabo zbieżnym do dystrybuanty F ,
jeżeli
lim Fn ( x)  F ( x)
(7.1)
n 
dla każdego x będącego punktem ciągłości dystrybuanty F .
1. RODZAJE ZBIEŻNOŚCI.
Wyróżnimy trzy rodzaje zbieżności ciągu zmiennych losowych:
 Definicja zbieżności według rozkładów.
Ciąg zmiennych losowych X n nazywamy zbieżnym według rozkładów
do zmiennej losowej X , jeżeli
(4.2)
lim P X n  x   P X  x 
n 
dla wszystkich x spełniających warunek P X  x  0 .
Ponieważ wtedy ciąg dystrybuant Fn zmiennych X n jest słabo zbieżny do
dystrybuanty F zmiennej X , to zbieżność według rozkładów nazywamy
również słabą zbieżnością.
 Definicja zbieżności według prawdopodobieństwa.
Ciąg zmiennych losowych X n nazywamy zbieżnym według
prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X , jeżeli
(4.3)
 lim P : X n ( )  X ( )     0 .
 0 n 
Zbieżność według prawdopodobieństwa nazywamy również zbieżnością
stochastyczną.
 Definicja zbieżności prawie wszędzie.
Ciąg zmiennych losowych X n nazywamy zbieżnym prawie wszędzie do
zmiennej losowej X , jeżeli
(4.4)


P  : lim X n ( )  X ( )  1 .
n 
Zbieżność prawie wszędzie nazywamy również zbieżnością z
prawdopodobieństwem 1 .
 Twierdzenie 4.2.
1. Jeżeli ciąg zmiennych losowych X n jest zbieżny do zmiennej losowej
X z prawdopodobieństwem 1, to jest również stochastycznie zbieżny
do X .
2. Jeżeli ciąg zmiennych losowych X n jest stochastycznie zbieżny do
zmiennej losowej X , to jest również zbieżny według rozkładu do
zmiennej X .
 Twierdzenie 4.5.
Warunkiem dostatecznym zbieżności według prawdopodobieństwa ciągu
zmiennych losowych X n do stałej c jest
lim E ( X n  c) 2  0 .
n
2. PRAWO WIELKICH LICZB.
 Prawo wielkich liczb.
Jeżeli X n jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
rozkładzie z E ( X n )  m dla n  1,2,... , to ciąg zmiennych losowych
Yn 
X 1  ...  X n
n
jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 do stałej m .
Oznaczając
X 
X 1  ...  X n
n
tezę twierdzenia możemy zapisać w postaci


P  : lim X ( )  m  1.
n 
 Wniosek 4.1.
Przy założeniach prawa wielkich liczb z twierdzenia 4.2 otrzymujemy


 lim P  : X ( )  m    0 .
 0 n 
Możemy powiedzieć, że średnia z niezależnych zmiennych losowych o tej samej
wartości oczekiwanej m jest zbieżna do m z prawie wszędzie, a stąd jest
stochastycznie zbieżna do m .
2
Zbigniew Paprzycki: Wykład 7
3. CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE.
 Oznaczenie.
Dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego N 0,1 będziemy
oznaczać
x
 ( x) 
(4.5)


1
2
e

x2
2
dx
 Twierdzenie Lindeberga-Levy’ego.
Niech X n będzie ciągiem niazależnych zmiennych losowych o tym
samym rozkładzie z E  X n   m i skończoną dodatnią wariancją
0  D 2 X n    2   .
Niech Yn będzie ciągiem zmiennych losowych określonych równaniem
Yn 
Wtedy dla każdego x  R
X 1  ...  X n  nm
 n
.
lim FYn ( x)    x  .
n 
 Definicja rozkładów asympotycznych.
Ciąg zmiennych losowych X n nazywamy asymptotycznie normalnym


N m n ,  n2 ,
jeżeli ciąg dystrybuant zmiennych losowych
Yn 
X n  mn
n
jest słabo zbieżny do dystrybuanty  x  standardowego rozkładu
normalnego.
 Twierdzenie Moivre’a-Laplace’a.
Niech X 1 , X 2 ,... będzie ciągiem zmiennych losowch o rozkładach
dwumiennych Bn, p , a Y1 , Y2 ,... ciągiem zmiennych losowych
określonych wzorem
Yn 
Wtedy
X n  np
npq
.
lim FYn ( x)    x  .
n 
Matematyka dla statystyka: Wykład 7
3
 Wniosek.
Ciąg zmiennych o rozkładach Bn, p jest asymptotycznie normalny
N np, npq  .
Jeśli ciąg zmiennych losowych X 1 , X 2 ,... ma asympotyczny rozkład N mn ,  n2  ,
to wtedy dla odpowiednio dużych n
 b  mn
Pa  X n  b    
 n

 a  mn
   

 n



Należy zauważyć przy tym, że ze względu na twierdzenie 4.1 ten sam wzór
stosujemy do przybliżonego liczenia prawdopodobieństw: Pa  X n  b ,
Pa  X n  b  , Pa  X n  b  . Ogólnie mówiąc zamiana znaków silnej i słabej
nierówności nie zmienia wartości granicznego prawdopodobieństwa.
 Twierdzenie.
Niech zmienne X n dla n  1,2,... mają rozkłady dwumianowe B(n, pn )
P X n  k    kn  pnk (1  pn ) n k dla k = 0,1, ..., n.
 
k  
e .
Jeżeli lim npn   , to lim P X n  k  
k!
n 
n
4
Zbigniew Paprzycki: Wykład 7