Wykład 2. Zmienne losowe jednowymiarowe

1. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
ZADANIA
1.1. W klatce znajdują się cztery białe myszy i dwie szare. Myszy przechodzą tunelem do innej
klatki, przy czym zakładamy, że wchodzą do tunelu niezależnie. Wartością zmiennej losowej jest
numer pierwszej szarej myszy przechodzącej tunelem. Wyznaczyć rozkład, określić dystrybuantę
zmiennej losowej oraz obliczyć jej parametry: EX, DX.
1.2. Rozkład zmiennej losowej X przedstawiony jest w tabeli:
xi
1
2
3
4
P(X=xi)
0,250
0,375
0,125
0,250
Obliczyć wartość oczekiwaną EX, wartość modalną Mo, medianę Me, wariancję D2X i odchylenie
standardowe DX zmiennej losowej. Wyznaczyć jej dystrybuantę. Naszkicować wykres funkcji
rozkładu oraz dystrybuanty. Obliczyć P(X<2,5).
1.3. Rozkład liczby nieobecnych na zajęciach studentów przedstawia się następująco:
xi
0
1
2
3
4
5
6
P(X=xi)
0,36
0,42
0,04
0,06
0,02
0,04
0,06
Obliczyć wartość oczekiwaną EX, wartość modalną Mo, medianę Me, wariancję D2X i odchylenie
standardowe DX. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej. Obliczyć P(X<1) oraz P(1<X<4).
1.4. Urządzenie składa się z trzech niezależnie pracujących elementów i działa dopóty, dopóki
pracuje choć jeden z nich. Prawdopodobieństwo awarii dla każdego elementu w ciągu dnia pracy
jest równe odpowiednio: p1 = 0.2, p2 = 0.5, p3 = 0.4. Określić rozkład zmiennej losowej X
zdefiniowanej jako liczba uszkodzonych elementów w ciągu jednego dnia. Wyznaczyć dystrybuantę
i obliczyć parametry zmiennej losowej X (EX, Mo, Me, D2X i DX)
1.5. W loterii wypuszczono 500 losów, w tym jeden los z wygraną 1000 zł, pięć losów z wygraną
po 200 zł i dwadzieścia losów - po 50 zł. Określić rozkład zmiennej losowej X, będącej wielkością
możliwej wygranej osoby, która kupiła jeden los. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie
standardowe tak określonej zmiennej losowej.
1.6. Student jest przygotowany do odpowiedzi na 15 z 20 pytań. Na egzaminie losuje 3 pytania i
jeśli odpowie na jedno pytanie uzyskuje ocenę 3,0, na dwa pytania 4,0, na wszystkie 5,0.
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej opisującej ocenę studenta. Jakie jest prawdopodobieństwo
zdania przez niego egzaminu? Jak zmieniłaby się wartość tego prawdopodobieństwa, gdyby student
był przygotowany do odpowiedzi na 10 z 20 pytań?
1.7. W stadzie znajduje się 6 krów czarnych i 2 czerwone. Wybieramy losowo trzy krowy ze stada.
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej opisującej liczbę krów czerwonych wśród wylosowanych
zwierząt. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie
krowy będą miały jednakowe umaszczenie.
1.8. Dana jest funkcja:
12(x 2  x 3 )
f (x )  
0
dla x  (0,1)
dla x  (0,1)
Sprawdzić, czy powyższy wzór określa gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Jeśli tak,
to wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X oraz obliczyć P(0,1  X 0,3) , P(X  0,2) , P(X  0,2).
Strona 1
dla x  0
0

F (x )  2 x  x dla 0  x  1
1
dla x  1

1.9. Dana jest funkcja:
Sprawdzić, czy powyższy wzór określa dystrybuantę zmiennej losowej. Wyznaczyć funkcję gęstości
tej zmiennej. Obliczyć P(X  0,16) oraz EX i D2X.
1.10. Sprawdzić, czy poniższa funkcja jest funkcją gęstości pewnej zmiennej losowej X. Znaleźć
dystrybuantę tej zmiennej. Naszkicować wykresy f(x) i F(x). Obliczyć wartość oczekiwaną i
kwartyle tej zmiennej losowej.
0
x

f (x )  
2  x
0
dla x  0
dla 0  x  1
dla 1  x  2
dla x  2
1.11. Dla jakiej wartości parametru A dana funkcja może być funkcją gęstości zmiennej losowej X.
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X oraz obliczyć jej wartość oczekiwaną. Obliczyć
P(2,56 < X < 3,24).
 1
 A dla 1  x  4

f (x )   x

dla pozostalych
0
1.12. Dla jakiej wartości parametru C poniższa funkcja może być funkcją gęstości zmiennej losowej
X. Wyznaczyć jej dystrybuantę. Obliczyć P(1,2 <X< 1,6) oraz P(X > 1,5).
C
 2
f ( x)   x 2
0
dla 1  x  2
dla pozostalyc h
1.13. Dla jakiej wartości parametru C dana funkcja może być funkcją gęstości prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X. Wyznaczyć jej dystrybuantę. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję,
medianę i wartość modalną zmiennej losowej X.
0.75x (2  x ) dla 0  x  C
f ( x)  
dla pozostalych
0
1.14. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją gęstości pewnej zmiennej losowej X. Znaleźć
dystrybuantę tej zmiennej losowej. Naszkicować wykresy obydwu funkcji. Wyznaczyć parametry
zmiennej losowej (EX, Mo, D2X). Obliczyć P(0<X<1,5).
0
2 x  1
 2
f ( x )   x  1
 3
0

dla x  0.5
dla - 0.5  x  0
3
dla 0  x 
2
3
dla x 
2
Przykładowe rozwiązania:
Zadanie 1.5.
Strona 2
Jeżeli zmienna losowa X jest wielkością wygranej właściciela jednego losu to przyjmie wartości 0,
50, 200 lub 1000. Prawdopodobieństwo przyjęcia przez X wartości 1000 jest równe 1/500, wartości
200 wynosi 5/500, wartości 50 jest równe 20/500 a wartości 0, czyli bez wygranej 474/500. Rozkład
zmiennej losowej można przedstawić w tabeli:
xi
0
50
200
1000
f(xi)=pi
0,948
0,040
0,010
0,002
Obliczamy wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X:
EX  0  0,948  50  0,040  200  0,010  1000  0,002  0  2  2  2  6
D2 X  02  0,948  502  0,040  2002  0,010  10002  0,002  36  100  400  2000  36  2464
Wartość oczekiwana oznacza, że średnia wygrana właściciela jednego losu wynosi 6 zł. Odchylenie
standardowe równe około 49,6 zł oznacza, że wygrana właściciela jednego losu przeciętnie odchyla
się od średniej o prawie 50 zł.
Zadanie 1.7.
Zmienna losowa opisuje liczbę krów czerwonych wśród wylosowanej trójki zwierząt, stąd wartości
jakie może przyjmować ta zmienna losowa to 0, 1 i 2. Obliczamy prawdopodobieństwo każdej
wartości zmiennej losowej jako iloczyn wyboru z grupy czarnych i czerwonych krów.
 6  2
    
3 0
20
P( X  0)      
P( X  1) 
56
8
 
 3
 6  2
    
 2   1   15  2  30
56
56
8
 
 3
 6  2
    
1 2
6
P( X  2)      
56
8
 
 3
Rozkład zmiennej losowej można przedstawić w tabeli:
xi
0
1
2
f(xi)=pi
20
56
30
6
56
56
Obliczona wartość oczekiwana, równa 0,75 oznacza przeciętną liczbę krów czerwonych w
wylosowanej trójce.
EX  0 
20
30
6 42
 1  2  
 0,75
56
56
56 56
Prawdopodobieństwo, że wszystkie krowy będą miały jednakowe umaszczenie jest równe
prawdopodobieństwu, że wszystkie trzy krowy będą czarne, czyli 20 .
56
Zadanie 1.11.
Aby dana funkcja była funkcją gęstości musi być spełniony warunek sumowania (całki) do jedności,
czyli:

  12

 x  A dx  2 x  Ax
f
(
x
)
dx


1 





4

4
1
 2 4  4 A  2 1  A  3A  2  1  A  
1
3
Strona 3
Gdy parametr A jest równy –1/3 to funkcja może być funkcją gęstości. Należy jeszcze sprawdzić,
czy f(x)0 dla xR. Poza przedziałem (1 ; 4) f(x)=0. Dla x  (1 ; 4) funkcja gęstości jest dodatnia,
1

1
ponieważ przedział ten zawiera się w przedziale (-9 ; 9), w którym funkcja x 2  jest dodatnia:
3
x

1
2
1

1
1
 0 x 2  
3
3
x  3  x  (9 ; 9)
Określamy dystrybuantę w kolejnych przedziałach liczbowych, przy czym w przedziale (-; 1)
dystrybuanta będzie miała wartość 0 a dla x > 4 będzie miała wartość 1. Znajdujemy wzór
dystrybuanty w przedziale od 1 do 4:
Jeśli x0  (1 ; 4) to:
0
 1 1 
1 
1
1
1
5

F ( x)    x 2  dx   2 x  x   2 x0  x0  2 1   2 x0  x0 
3
3 1
3
3
3
3

1
x0
x
Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej:
4
4
 1 1 
2 3 1 
16 16 2 1 13
 x 1 
EX   
 x dx    x 2  x dx   x 2  x 2  
   
3
3
3
6
3
6 3 6 6
x


1
1


1
4
Wartość oczekiwana tej zmiennej równa jest w przybliżeniu 2,167.
Obliczamy prawdopodobieństwo, że X należy do przedziału (2,56 ; 3,24). Zgodnie z zasadą
obliczania takiego prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej ciągłej odejmujemy wartość
dystrybuanty dla początku przedziału od wartości dystrybuanty końca:
P(2,56  X  3,24)  F ( X  3,24)  F ( X  2,56)  2 3,24 
3,24 5
2,56 5
  2 2,56 
 
3
3
3
3
 3,6  1,08  1,667  3,2  0,853  1,667  0,853  0,68  0,173
Wartość dystrybuanty F(X = 3,24) = 0,853, a dla F(X = 2,56) = 0,68, stąd prawdopodobieństwo
wystąpienia wartości zmiennej losowej w przedziale (2,56 ; 3,24) jest równe 0,173.
Strona 4