Podróże po Imperium Liczb 04 Liczby Pierwsze

Olsztyn, Toruń, 2008
Podróże po Imperium Liczb
04 Liczby Pierwsze
Andrzej Nowicki
1 Cyfry liczb pierwszych
1.1 Początkowe liczby pierwsze . . . . . . . . .
1.2 Liczby pierwsze postaci aa...ab . . . . . . .
1.3 Liczby pierwsze postaci abb...b . . . . . . .
1.4 Liczby pierwsze postaci a00...0b . . . . . .
1.5 Liczby pierwsze postaci baa...ab . . . . . .
1.6 Palindromiczne liczby pierwsze . . . . . . .
1.7 Absolutne liczby pierwsze . . . . . . . . . .
1.8 Cyfry potęg liczb pierwszych . . . . . . . .
1.9 Liczby pierwsze utworzone z kolejnych liczb
1.10 Jednolite liczby pierwsze . . . . . . . . . .
1.11 Różne fakty o cyfrach liczb pierwszych . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
naturalnych
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
7
7
8
8
12
14
14
18
19
2 Informacje i ciekawostki o liczbach pierwszych
2.1 Równoważne warunki na pierwszość . . . . . .
2.2 Przykłady i własności . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Rozkłady na iloczyn liczb pierwszych . . . . .
2.4 Liczby pierwsze i podzielność . . . . . . . . . .
2.5 Sumy liczb pierwszych . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Hipoteza Goldbacha . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Najmniejsze i największe dzielniki pierwsze . .
2.8 Liczby pierwsze i liczby względnie pierwsze . .
2.9 Funkcja π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Różne fakty i zadania o liczbach pierwszych .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
21
22
24
25
26
28
29
29
31
3 Liczby pierwsze szczególnej postaci
3.1 Liczby pierwsze Germain . . . . .
3.2 Liczby postaci p ± n2 . . . . . . .
3.3 Pary liczb pierwszych bliźniaczych
3.4 Czworaczki, pięcioraczki, itp . . .
3.5 Liczby pierwsze postaci n2 + 1 . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
35
35
37
39
4 Liczby złożone
4.1 Przykłady liczb złożonych . . . . . . . . . .
4.2 Własności liczb złożonych . . . . . . . . . .
4.3 Ciągi kolejnych liczb naturalnych złożonych
4.4 Ciągi liczb złożonych . . . . . . . . . . . .
4.5 Istnienie pewnych liczb złożonych . . . . .
4.6 Liczby złożone i kwadraty . . . . . . . . . .
4.7 Liczby drugie, trzecie, czwarte, ... . . . . .
4.8 Różne fakty i zadania o liczbach złożonych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
40
41
41
42
43
44
45
48
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
5 Ciąg
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
kolejnych liczb pierwszych
Twierdzenie Czebyszewa (Postulat Bertranda)
Ciąg (pn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Różnice pn+1 - pn . . . . . . . . . . . . . . . .
Liczby pierwsze postaci p# ±1 . . . . . . . . .
Sumy algebraiczne liczb postaci pn . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
49
50
53
54
55
6 Liczby pierwsze w postępach arytmetycznych
6.1 Twierdzenie Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Liczby pierwsze postaci ak + b . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Skończone ciągi kolejnych liczb naturalnych i liczby pierwsze
6.4 Skończone postępy arytmetyczne liczb pierwszych . . . . . .
6.5 Uogólnione postępy arytmetyczne liczb pierwszych . . . . . .
6.6 Twierdzenie Baloga i jego uogólnienia . . . . . . . . . . . . .
6.7 Nieskończone postępy arytmetyczne i liczby pierwsze . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
56
56
56
59
60
66
68
70
7 Szczególne przypadki twierdzenia Dirichleta
7.1 Nieskończoność zbioru liczb pierwszych . . . . . .
7.2 Liczby postaci pk+1, gdzie p jest liczbą pierwszą .
7.3 Liczby postaci ak+1, gdzie a jest liczbą naturalną
7.4 Liczby postaci 2m k+1 . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 3k + r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 4k + r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 ak + r, dla a= 5, 6, 7 . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 8k + r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 ak + r, dla a > 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
72
72
74
75
76
76
77
77
78
79
8 Małe Twierdzenie Fermata i Twierdzenie
8.1 Małe twierdzenie Fermata . . . . . . . . .
8.2 Twierdzenie Eulera . . . . . . . . . . . .
8.3 Wzmocniona wersja twierdzenia Eulera .
8.4 Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Rzędy (wykładniki) liczb modulo m . . .
8.6 Zadania różne . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
81
82
83
84
85
86
9 Liczby S-pierwsze
9.1 Ogólne fakty o liczbach S-pierwszych . . . . . . . . .
9.2 Podzbiory multyplikatywne Mn . . . . . . . . . . . .
9.3 Przykłady dla podzbiorów Mn . . . . . . . . . . . . .
9.4 Przykłady dla innych podzbiorów multyplikatywnych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
87
88
90
91
10 Liczby pierwsze i nierozkładalne wielomiany
10.1 Liczba liczb pierwszych w obrazie i nierozkładalność . . . . . . . .
10.2 Przykłady wielomianów nierozkładalnych z liczbami pierwszymi .
10.3 Pierwiastki zespolone wielomianów o współczynnikach całkowitych
10.4 Kryterium nierozkładalności z liczbami pierwszymi . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
93
95
95
97
11 Liczby pierwsze i wartości wielomianów
11.1 Liczby złożone jako wartości wielomianów .
11.2 Liczby pierwsze jako wartości wielomianów
11.3 Podzielniki pierwsze wartości wielomianu .
11.4 Trójmiany kwadratowe i liczby pierwsze . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99
. 99
. 99
. 101
. 102
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Eulera
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, Toruń
Olsztyńska Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania, Olsztyn
e-mail: [email protected]
3