Lista 16C

Uniwersyteckie Kóªko Matematyczne - poziom C
www.math.uni.wroc.pl/preisner/jg
Marcin Preisner, Jelenia Góra, 12 czerwca 2010 r.
Zadania z liczbami pierwszymi
Poni»sza lista zostaªa zapo»yczona ze strony "‘rodowiskowych Kóªek Matematyki" odbywaj¡cych si¦ w Toruniu.
1. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p:
(a) dla których liczby 2p + 7 i 7p + 10 sa równie» pierwsze;
(b) dla których liczby p + 24, 2p + 7, 3p + 4, 4p + 3 sa równie» pierwsze;
(c) dla których liczba p2 + 38 jest równie» pierwsza;
(d) dla których liczba p + 4 jest kwadratem liczby naturalnej;
(e) dla których liczby 4p2 + 1, 6p2 + 1 sa równie» pierwsze.
2. Wyka», »e suma dwóch kolejnych liczb pierwszych wiekszych od 2 jest zawsze liczb¡ zªo»on¡, która da si¦ rozªo»y¢ na iloczyn co najmniej trzech, niekoniecznie ró»nych czynników
pierwszych.
3. Wyka», »e je»eli liczba pierwsza p jest wieksza od 3, to p2 − 1 dzieli sie przez 24.
4. Wykaza¢, »e dla ka»dej liczby pierwszej p > 5 liczba p4 − 1 jest podzielna przez 240.
5. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze x, y, z , których suma jest:
(a) 3 razy mniejsza od ich iloczynu;
(b) 11 mniejsza od ich iloczynu.
6. Udowodnij, »e:
(a) je»eli p > 3 i liczby p oraz 10p + 1 sa pierwsze, to liczba 5p + 1 nie jest pierwsza;
(b) Je»eli liczby p i 8p − 1 s¡ pierwsze, to liczba 8p + 1 jest zªo»ona.
7. Dane sa liczby pierwsze p i q . Liczba p dzieli liczbe q 3 −1, a liczba q dzieli liczbe p−1. Wyka»,
»e p = 1 + q + q 2 .
8. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p i q takie, »e p2 − 2q 2 = 1.
9. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, q i r takie, »e:
(a) p + q + r = pq + 1;
(b) pq + qp = r.
10. Czy istnieja takie ró»ne liczby pierwsze p, q i r takie, »e liczba
11. Wyka», »e dla dowolnej liczby pierwszej p > 2 licznik uªamka
m
1 1 1
1
= 1 + + + + ... +
n
2 3 4
p−1
dzieli sie przez p.
1
1
p
+
1
q
+
1
r
jest caªkowita?
12. Wyka», »e je»eli liczba p jest pierwsza, to 3p + 1 nie mo»e dzieli¢ si¦ przez 2p.
p
13. Wyka», »e dla dowolnej liczby naturalne n ­ 2 i dowolnej liczby pierwszej p liczba np + pp
jest zªo»ona.
14. Wyznaczy¢ wszystkie takie trójki liczb pierwszych p ¬ q ¬ r, »e liczby
pq + r, pq + r2 , qr + p, qr + p2 , rp + q, rp + q 2
sa pierwsze.
15. Znale¹¢ wszystkie takie trójki liczb pierwszych (p, q, r), »e liczby pq + qr + rp oraz p3 + q 3 +
r3 − 2pqr sa podzielne przez p + q + r.
2