ZAJĘCIA 10. Potęgi. Prawa działań na potęgach o wykładnikach

ZAJĘCIA 10.
Potęgi.
Prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych.
POTĘGOWANIE
Potęgę o podstawie a i wykładniku naturalnym n oznaczamy przez an i określamy w następujący
sposób:
51=5
52=5⋅5=25
53=5⋅5⋅5=125
54=5⋅5⋅5⋅5=625
Zapamiętaj, Ŝe:
MoŜemy rozszerzyć powyŜszą definicję dla wykładnika całkowitego w następujący sposób:
Dla a≠0 i m∈C:
a0=1
a-m=1/am
ZADANIE:
20=1
-10=1
133,50=1
(¾)0=1
2-1=1/2
(-3)-1=-1/3
(7/8)-1=8/7
Przyjmujemy, Ŝe 00 jest symbolem nieoznaczonym (nie definiujemy go w matematyce).
Warto zapamiętać, Ŝe drugą potęgę liczby nazywamy kwadratem liczby,
natomiast trzecią potęgę liczby nazywamy jej sześcianem.
POTĘGA O WYKŁADNIKU WYMIERNYM
W przypadku potęgi o wykładniku wymiernym zachodzą dwa rodzaje zaleŜności:
1) W przypadku potęgi o wykładniku wymiernym dodatnim: jeŜeli naleŜy do zbioru liczb
rzeczywistych dodatnich (włączając liczbę zero) oraz i naleŜą do zbioru liczb naturalnych
dodatnich (z wyłączeniem liczby 1) zachodzi:
2) W przypadku potęgi o wykładniku wymiernym ujemnym: jeŜeli przypadku potęgi o
wykładniku wymiernym dodatnim: jeŜeli naleŜy do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich
(włączając liczbę zero) oraz i naleŜą do zbioru liczb naturalnych dodatnich (z wyłączeniem
liczby 1) zachodzi:
DZIAŁANIA NA POTĘGACH
Dla kaŜdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są
wzory:
1) a m · a n = a m+n
2) a m : a n = a m-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (a m)n = a m · n
4) a n · b n = (ab) n
5) a n : b n = (a:b) n, dla b ≠ 0
PowyŜsze wzory są prawdziwe takŜe dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych
(warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest juŜ konieczny).
oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
2
5 · 5 17 = 5 2+17 = 5 19
(⅛) 7 · (⅛) 7 = (⅛) 7+7 = (⅛) 14
(-9) 4 · (-9) 9 = (-9) 4+9 = (-9) 13
5 -20 · 5 20 = 5 -20+20 = 5 0 = 1
A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
17
5 : 5 2 = 5 17-2 = 5 15
5 2 · 5 17 = 5 2-17 = 5 -15 = 1/(5 15)
(⅛) 7 : (⅛) 7 = (⅛) 7-7 = (⅛) 0 = 1
(-3) 7 / (-3) 4 = (-3) 7-4 = (-3) 3 = -27
5 -20 : 5 20 = 5 -20-20 = 5 -40
Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
5 5
(5 ) = 5 5·5 = 5 25
(5 -1) 2 = 5 -1·2 = 5 -2 = 1/25
Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
3 2 · 2 2 = (3·2) 2 = 36
5 -2 · 2 -2 = (5·2) -2 = 1/100 = 0.01
100 57 · 0.01 57 = (100·0.01) 57 = 1 57 = 1
Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
2
4 : 2 2 = (4:2) 2 = 2 2 = 4
2 -2 : 4 -2 = (2:4) -2 = (1/2) -2 = 2 2 = 4
100 5 : 0.01 5 = (100:0.01) 5 = 10000 5 = (10 4) 5 = 10 20
Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi:
56·65
PoniewaŜ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, Ŝaden ze wzorów
działań na potęgach nie moŜe być zastosowany.
Oblicz: 5 6 + 5 5
PoniewaŜ mamy tutaj takie same podstawy, moŜemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale
"w drugą stronę", to znaczy:
5 7 + 5 5 = 5 5+2 + 5 5 = 5 2 · 5 5 + 5 5 = 5 5(5 2 + 1) = 26 · 5 5
Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. ZauwaŜmy, Ŝe
1 = 10 0
10 = 10 1
100 = 10 2
1000 = 10 3
10000 = 10 4
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 10 20 oznacza
liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000
Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. ZauwaŜmy, Ŝe
0.1 = 10 -1
0.01 = 10 -2
0.001 = 10 -3
0.0001 = 10 -4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje, „na którym miejscu po przecinku znajduje się
jedynka". Zatem dla przykładu 10 -10 oznacza liczbę - 0.0000000001
Reasumując:
POLECAM stronę: http://nakrecenieksperci.pl/matura/video/play,5382473347063591358,Potegi-owykladnikach-wymiernych-i-rzeczywistych.html