Modele układów reakcji chemicznych

Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Modele ukladów reakcji chemicznych
Katarzyna Miecznikowska
MISMaP
29 października 2009
Jahnke T., Huisinga W. Solving the chemical master equation
for monomolecular reaction systems analytically,
Mathematical Biology 2006
Gillespie C.S., Moment-closure approximations for mass-action
models, IET Systems Biology, 2008
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
1 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Plan prezentacji
1
Model reakcji monomolekularnych
Zalożenia modelu
Ujȩcie deterministyczne i stochastyczne
Uklad zamkniȩty
Uklad otwarty
Wlasności modelu
Przyklad
2
Model Gillespie’go
Zalożenia modelu
Funkcja tworza̧ca momenty
Przyklad
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
2 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Zalożenia modelu
Zalożenia modelu
n ∈ N substancji S1 , S2 , ..., Sn
reakcje monomolekularne:
cjk
Rjk :Sj −→ Sk przejście (j 6= k)
c
R0k :∗ −−0k
→ Sk produkcja lub naplyw
cj0
Rj0 :Sj −→ ∗ rozpad lub odplyw
pomijamy reakcje :
Sj −→ Sj + Sk
Sj −→ Sl + Sk (j 6= l, k)
wspólczynniki cjk ≥ 0 moga̧ ale nie musza̧ być zależne od
czasu cjk (t)
ckk = 0 ∀k ∈ N
wszystkie molekuly sa̧ identyczne i równomiernie
rozprowadzone w systemie
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
3 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Ujȩcie deterministyczne i stochastyczne
Ujȩcie deterministyczne
Stȩżenie substancji Sk w czasie t ck (t) spelnia równanie
różniczkowe:
c˙k (t) = c0k +
n
X
cjk (t)cj (t) −
j=1
n
X
ckj (t)ck (t)
j=0
Zatem wektor c(t) = (c1 (t), ..., cn (t))T spelnia warunek:
ċ(t) = A(t)c(t) + b(t)
b(t) = (c01 (t), c02 (t), ...,c0n (t))T
ajk (t) = ckj P
(t), j 6= k
A(t) - macierz taka, że
akk (t) = − nj=o ckj (t)
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
4 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Ujȩcie deterministyczne i stochastyczne
Ujȩcie stochastyczne
X (t) = (X1 (t), ..., Xn (t)) gdzie Xk (t) oznacza liczbȩ molekul
substancji k w czasie t
wektor stechiometryczny ν jk ∈ Nn - określa zmianȩ stanu
ukladu za każdym razem, gdy zajdzie reakcja Rjk
ν jk = εk − εj , ν 0k = εk , ν j0 = −εj
gdzie εk oznacza k-ta̧ kolumnȩ macierzy I w Rnxn
αjk (t, x) - funkcja sklonności, szansa na to, że w przedziale
czasu [t, t + dt) nasta̧pi reakcja Rjk ,

 cjk (t)xj , dla reakcji Rjk
c (t),
dla reakcji R0k
αjk (t, x) =
 0k
cj0 (t)xj , dla reakcji Rj0
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
5 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Ujȩcie deterministyczne i stochastyczne
Rozklad prawdopodobieństwa
P(t, x) = P (X1 (t) = x1 , ..., Xn (t) = xn ) jest rozwia̧zaniem
równiania(∗) :
∂t P(t, x) =
n X
n X
αjk (t, x − ν jk )P(t, x − ν jk ) − αjk (t, x)P(t, x) =
j=o k=0
=
n
X
c0k (t) (P(t, x − εk ) − P(t, x)+
k=1
+
+
n
X
ck0 (t) ((xk
k=1
n X
n
X
+ 1)P (t, x + εk ) − xk P(t, x)) +
cjk (t) ((xj + 1)P(t, x + εj − εk ) − xj P(t, x)
j=1 k=1
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
6 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Ujȩcie deterministyczne i stochastyczne
Warunki pocza̧tkowe
P(0, x) = µ(x) - pocza̧tkowy rozklad prawdopodobieństwa
Cel: znaleźć rozwia̧zanie dla
dowolnych warunków pocza̧tkowych
1, dlax = ξ
Niech: P(0, x) = σξ (x) =
0, wpp
Wówczas mamy:
X
µ(ξ)Pξ (t, x)
P(t, x) =
ξ∈Nn
Zatem można zawsze przejść od warunków pocza̧tkowych
zadanych deterministycznie do rozkladu prawdopodobieństwa:
X
µ(x) =
µ(ξ)Pξ (t, x).
ξ∈Nn
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
7 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Uklad zamkniȩty
Zamkniȩty uklad z rozkladem pocza̧tkowym
wielomianowym
rozkad wielomianowy:
n
x
(1 − |p|)N−|x| Y pkk
M(x, N, p) = N!
(N − |x|)!
xk !
k=1
gdzie p = (p1 , ..., pn ) ∈ [0, 1]n i |p| ≤ 1
pomijamy reakcje R0k : ∗ −→ Xk czyli ∀k ∈ N c0k = 0
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
8 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Uklad zamkniȩty
P(0, x) = M(x, N, p0 ) dla pewnego p0 ∈ [0, 1]n
Wówczas dla t > 0 mamy:
P(t, x) = M(x, N, p(t))
gdzie p(t) = (p1 (t), ..., pn (t))T spelnia warunki:
ṗ(t) = A(t)p(t)
p(0) = p0
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
9 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Uklad otwarty
Otwarty uklad z pocza̧tkowym rozkladem Poissona
rozklad Poissona:
P(x, t) =
λx11 λxnn −|λ|
...
·e
x1 ! xn !
λ = (λ1 , ..., λn ) ∈ Rn+ oraz x ∈ Nn
P(0, x) = P(x, λ0 ) Wówczas dla t > 0 mamy:
P(t, x) = P(x, λ(t))
gdzie wektor λ(t) spelnia warunki:
λ̇(t) = A(t)λ(t) + b(t)
λ(0) = λ0
Zauważmy, jeśli ∀k c0k = 0 (uklad zamkniȩty) powyższy wzór
pozostaje wlaściwy.
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
10 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Uklad otwarty
Sytuacja ogólna
Dowolnie zadane warunki pocza̧tkowe: P(0, ·) = σξ (·) dla ξ ∈ Nn
Wówczas dla t > 0 mamy:
P(t, x) = P(x, λ(t)) ∗ M(x, ξ1 , p (1) (t)) ∗ ... ∗ M(x, ξn , p (n) (t))
gdzie p (k) (t) ∈ [0, 1]n oraz λ(t) ∈ Rn+ spelniaja̧ warunki:
(k)
ṗ (t) = A(t)p (k) (t)
λ̇(t) = A(t)λ(t) + b(t)
λ(0) = λ0
p (k) (0) = εk
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
11 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Wlasności modelu
Rozklady brzegowe
Niech P(t, x) bȩdzie rozwia̧zaniem równania (∗) i dla
ustalonej j ∈ 1, ...n − 1 zdefiniujmy x = (y , z) gdzie
y = (x1 , ..., xj ) i z = (xj+1 , ..., xn ). Wówczas rozklad brzegowy
dany jest wzorem:
X
XX X
FY (t, y ) =
P (t, (y , z)) =
...
P(t, x) =
z∈Nn−j
xj+1 xj+2
xn
= P ·, λ̃(t) ? M ·, ξ1 , p̃ (1) (t) ? ... ? M ·, ξn , p̃ (n) (t) (y )
(k)
(k)
gdzie p̃ (k) = (p1 , ..., pj )T oraz λ̃ = (λ1 , ..., λj )T zawieraja̧
jedynie j pierwszych wspólrzȩdnych wektorów p (k) (t) ∈ [0, 1]n i
λ(t) ∈ Rn z rozwia̧zania (∗).
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
12 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Wlasności modelu
Wartość oczekiwana
Y ∼ M(x, N, p) wówczas:
E(Y ) = Np Cov(Yj , Yk ) =
-Npj pk dla j 6= k
Npk (1 − pk ) dla j = k
Y ∼ P(λ) wówczas:
0dlaj6= k
λk dla j = k
Y1 i Y2 niezależne - wówczas: E(Y1 + Y2 ) = E(Y1 ) + E(Y2 )
oraz Cov (Y1 , Y2 ) = 0.
E(Y ) = λ Cov(Yj , Yk ) =
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
13 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Wlasności modelu
Zatem dla modelu otrzymujemy:
E (X (t)) = λ(t) +
n
X
ξk p (k) (t)
k=1
Cov (Xj , Xk ) =
 n
X (i)

(i)


ξi pj (1 − pj ) + λj , dla j6= k


i=1
n
X

(i) (i)


ξi pj pk ,

 -
j=k
i=1
gdzie p (k) i λ(t) spelniaja̧:
(k)
ṗ (t) = A(t)p (k) (t)
λ̇(t) = A(t)λ(t) + b(t)
(k)
λ(0) = λ0
p (0) = εk
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
14 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Wlasności modelu
W szczególności dla t = 0 mamy:
E (X (0)) = λ(0) +
n
X
(k)
(0) =
kp
k=1
n
X
ξk εk = ξ
k=1
Różniczkuja̧c otrzymujemy:
n
X
d
E (X (t)) = λ̇(t) +
ξk ṗ (k) (t) =
dt
k=1
= A(t)λ(t) + b(t) +
n
X
ξk Ap (k) (t) = A(t)E (X (t)) + b(t)
k=1
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
15 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Wlasności modelu
Stany stabilne i zbieżność
Wprowadzamy dodatkowe zalożenia do modelu:
cjk stale - stany stabilne moglyby nie istnieć gdyby cjk zależaly
od czasu
macierzy A nie da siȩ zredukować - ukladu nie da siȩ rozdzielić
na niezależne poduklady
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
16 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Wlasności modelu
Uklad zamkniȩty
Jeśli choć jeden wspólczynnik ck0 6= 0 to wszystkie molekuly
prȩdzej czy później znikna̧.
Zakladamy, że ∀k ck0 = c0k = 0. Wówczas dla dowolnego
rozkladu danych pocza̧tkowych mamy:
lim P(t, x) =
t→∞
X
µ(ξ)M(x, |ξ|, p̄) =
ξ∈Nn
[0, 1]n
gdzie p̄ ∈
jest wyznaczony z
X
oraz µN =
µ(ξ) dla N ∈ N
∞
X
µN M(x, N, p̄)
N=0
A=0
|p̄| = 1
|ξ|=N
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
17 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Wlasności modelu
Uklad otwarty
Dla dowolnego rozkladu danych pocza̧tkowych
(P(0, ·) = µ(·)) mamy:
X
X
lim P(t, x) = lim
µ(ξ)Pξ (t, x) =
µ(ξ)P(x, λ̄) = P(x, λ̄)
t→∞
t→∞
ξ∈Nn
ξ∈Nn
gdzie λ̄ jest rozwia̧zaniem Aλ̄ = −b i λ̄ ∈ Rn .
Wnioski:
w ukladzie zamkniȩtym stan stabilny zależy od rozkladu
danych pocza̧tkowych
w ukladzie otwartym stan stabilny jest wyznaczony
jednoznacznie - nie zależy od danych pocza̧tkowych
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
18 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Przyklad
Przyklad
Substancja S1 , reakcje:
c
01
reakcja R01 : ∗ −→
S1
c10
reakcja R10 : S1 −→
∗
Rozklad prawdopodobieństwa dany jest wzorem:
min{ξ,x} P(t, x) =
X
k=0
ξ k
λx−k (t) −λ(t)
e
p (t) (1 − p(t))ξ−k
(x − k)!
k
gdzie ξ to pocza̧tkowa liczba molekul, p(t) = e −c10 t oraz
c01 (1 − e −tc10 )
λ(t) =
sa̧ rozwia̧zaniami:
c10
ṗ(t) = −c10 p(t)
λ̇(t) = −c10 λ(t) + c01
p(0) = 1
λ(0) = 0
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
19 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model reakcji monomolekularnych
Przyklad
Wiedza̧c, że p(t) = e −c10 t oraz λ(t) =
lim p(t) = 0
t→∞
c01 (1 − e −tc10 )
mamy:
c10
lim λ(t) =
t→∞
c01
c10
Otrzymujemy zatem:
lim P(t, x) =
t→∞
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
λ̄x −λ̄
e
x!
λ̄ =
c01
c10
20 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model Gillespie’go
Zalożenia modelu
Zalożenia modelu
S1 , S2 , ..., SN substancje
R1 , R2 , ..., RL reakcje takie, że Rl przebiega nastȩpuja̧co:
s l1 X1 + ... + s lN XN −→ s l1 X1 + ... + s lN XN
gdzie s l , s l - wspólczynniki stechiometryczne reakcji Rl
Niech x - wektor ilości substancji, a s = s l − s l wektor
spelniaja̧cy warunek:
sli = s li − s li
Wówczas dla reakcji Rl mamy: xi −→ xi + sli
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
21 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model Gillespie’go
Zalożenia modelu
p(x)(t) = p(x) prawdopodobieństwo znalezienia siȩ w stanie x
w czasie t przy warunkach pocza̧tkowych x(0)
al (x) - funkcja sklonności reakcji Rl , gdzie ai,j to
wspólczynniki x1 × ... × xN w i-tej reakcji
Wówczas mamy:
L
dp(x) X
=
p(x − sl )al (x − sl ) − p(x)al (x)
dt
l=1
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
22 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model Gillespie’go
Funkcja tworza̧ca momenty
Funkcja tworza̧ca momenty-przypomnienie
Jednowymiarowy i − ty moment dany jest formula̧:
µi (t) = E[X i ] =
∞
X
p(x)(t)x i
x=0
Jednowymiarowa funkcja tworza̧ca momenty:
M(t) ≡
∞
X
p(x)(t)e θx = µ0 (t) +
x=0
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
µ1 (t)θ1 µ2 (t)θ2
+
+ ...
1!
2!
23 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model Gillespie’go
Funkcja tworza̧ca momenty
Funkcja tworza̧ca momenty dla modelu
Wielowymiarowa funkcja tworza̧ca momenty dana jest formula̧:
M(t) ≡
∞
X
p(x)(t)e
θ1 x1 +...+θN xN
x1 ,...,xN =0
=
∞
X
x=0
p(x)(t)e
xθ
=
∞
X
µx(t)θx
x=0
x!
gdzie x! = x1 !x2 !...xN !
P
i
oraz µx (t) = E[X1x1 ...XNxN ] = ∞
x=0 p(x)(t)x
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
24 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model Gillespie’go
Funkcja tworza̧ca momenty
Po misternych rachunkach otrzymujemy:
∞
L
n
X
∂M(t) X n X X
k n
=
θ
al,i
sl
µn−k+i (t)
∂t
k
n=0
l=1
i
k=0
gdzie k1 + ... + kN 6= 0,
kN nN
k1 n1
k n
sl
µn−k+i (t) = sl1
× ... × slN
k
k1
kN
oraz µn−k+j = µn1 −k1 +j1 ,...,nN −kN +jn
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
25 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model Gillespie’go
Funkcja tworza̧ca momenty
Gdy w ukladzie wystȩpuje tylko jedna substancja poprzedni wzór
upraszcza siȩ:
n
∞
L ∞
X
n
∂M(t) X n X X
k
sl,1
=
θ1
al,i
µn−k+i (t)
∂t
k
n=1
l=1 i=0
k=1
Równanie różniczkowe na n-ty moment ma postać:
L ∞
n X
dµn (t) X X
n k
=
al,i
s µn−k+1 (t)
k l,i
dt
l=1 i=0
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
k=1
26 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model Gillespie’go
Przyklad
Przyklad
substancja X , reakcje:
α
∅−
→X
ν
X −
→∅
s1,1
dpx (t)
= αpx−1 (t) + ν(x + 1)px+1 (t) − (α + νx)px (t)
dt
funkcje slonności: a1 (x) = α i a2 (x) = νx.

 α, dla i = 1 i j = 0
ν, dla i = 2 i j = 1
ai,j =

0, wpp
= 1 i s2,1 = −1
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
27 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model Gillespie’go
Przyklad
Zatem dla opisanego przykladu mamy nastȩpuja̧ce równania
opisuja̧ce momenty:
2
1
dµ1 (t) X X
=
al,i sl,1 µi (t) = a1,0 s1,1 + a2,1 s2,1 µ1 (t) =
dt
l=1 i=0
=α − νµ1 (t)
dµ2 (t)
= α[1 + 2µ1 (t)] + ν[µ1 (t) − 2µ2 (t)]
dt
dµ3 (t)
= α[1 + 3µ1 (t) + 3µ2 (t)] − ν[µ1 (t) − 3µ2 (t) + 3µ3 (t)]
dt
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
28 / 29
Modele ukladów reakcji chemicznych
Model reakcji monomolekularnych
Model Gillespie’go
Model Gillespie’go
Przyklad
Dziȩkujȩ za uwagȩ!
Katarzyna Miecznikowska ( MISMaP )
29 października 2009
29 / 29