VIII Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I

VIII Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów
rok szkolny 2012/2013
Etap II
Zadanie 1
500 kg rudy zawiera pewną ilość żelaza. Po usunięciu 200 kg zanieczyszczeń, zawierających
średnio 12,5% żelaza, procent żelaza w pozostałej rudzie podniósł się o 20. Ile kilogramów żelaza
było w pozostałej rudzie?
Zadanie 2
Dziadek ma dwa razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia miała
przed piętnastoma laty. Gdy babcia będzie w wieku dziadka, to razem będą mieli 150 lat. Ile lat
mają obecnie?
Zadanie 3
W trójkąt równoramienny ABC o podstawie IABI = 18 cm i ramionach IBCI = IACI = 27 cm wpisano
okrąg. Punkty styczności M i N leżą na ramionach IBCI i IACI. Oblicz pole czworokąta ABMN.
Zadanie 4
Dane są dwie liczby dwucyfrowe. Jeśli przestawimy cyfry jednej liczby, to otrzymamy drugą.
Różnica kwadratów tych liczb jest kwadratem liczby całkowitej. Jakie to liczby?
Zadanie 5
Na trapezie równoramiennym ABCD o podstawach IABI = 20 cm i ICDI = 12 cm opisany jest
okrąg. Środek okręgu leży na dłuższej podstawie. Oblicz obwód trójkąta ABC.
Zadanie 6
Wykaż, że
1
1
1
1


 ... 
 44
1
2
3
2013
Przykładowe rozwiązania
Zadanie 1
500 kg rudy zawiera pewną ilość żelaza. Po usunięciu 200 kg zanieczyszczeń, zawierających
średnio 12,5% żelaza, procent żelaza w pozostałej rudzie podniósł się o 20. Ile kilogramów żelaza
było w pozostałej rudzie?
Rozwiązanie:
x – zawartość procentowa żelaza w rudzie.
x% . 500 masa żelaza w rudzie przed oczyszczeniem
(x + 20)% . 300 masa żelaza w rudzie oczyszczonej
12,5% . 200 masa żelaza w zanieczyszczeniach
Układamy równanie:
x% . 500 = (x + 20)% . 300 + 12,5% . 200
skąd x = 42,5
42,5 + 20 = 62,5
W rudzie oczyszczonej jest 62,5% żelaza, czyli 62,5% . 300 = 187,5
Odpowiedź: W pozostałej rudzie jest 187,5 kg żelaza.
Zadanie 2
Dziadek ma dwa razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia miała
przed piętnastoma laty. Gdy babcia będzie w wieku dziadka, to razem będą mieli 150 lat. Ile lat
mają obecnie?
Rozwiązanie:
Wiek dziadka
Wiek babci
Wcześniej
Teraz
Później
y – 15
2x
150 – 2x
x
y
2x
W tym samym okresie każdemu przybyło tyle samo lat, zatem:
2 x  ( y  15)  y  x

150  2 x  2 x  2 x  y
 x  35

 y  60
2 . 35 = 70
Odpowiedź: Dziadek ma 70 lat, a babcia 60.
Zadanie 3
W trójkąt równoramienny ABC o podstawie IABI = 18 cm i ramionach IBCI = IACI = 27 cm wpisano
okrąg. Punkty styczności M i N leżą na ramionach IBCI i IACI. Oblicz pole
czworokąta ABMN.
Rozwiązanie:
Trójkąt ABC jest równoramienny, punkty M i N są punktami styczności
zatem czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.
M i D są punktami styczności i leżą na prostych poprowadzonych z punktu
A, zatem
IAMI = IADI = 9 cm, czyli IMCI = 27 – 9 = 18
Trójkąty ABC, MNC są podobne, zatem
MN
AB
,

MC
AC
MN 18
, czyli podstawa IMNI = 12 cm

18
27
Trójkąty AME i ACD są podobne w skali 1 : 3.
CD  272  92  648  18 2 , czyli h  ME  6 2
p ABCD 
(18  12)  6 2
 90 2
2
Zadanie 4
Dane są dwie liczby dwucyfrowe. Jeśli przestawimy cyfry jednej liczby, to otrzymamy drugą.
Różnica kwadratów tych liczb jest kwadratem liczby całkowitej. Jakie to liczby?
Rozwiązanie:
x, y – cyfry i x > y
10x + y
I liczba
10y + x
II liczba
Zgodnie z warunkami zadania istnieje liczba całkowita k taka, że
(10x + y)2 – (10y + x)2 = k2, czyli 99(x2 – y2) = k2
99 = 9 . 11, zatem (x2 – y2) = 11, stąd (x + y)(x – y) = 11, czyli (x + y)(x – y) = 11 . 1
 x  y  11

x  y  1
x  6

y  5
x, y – cyfry i x = y
wówczas warunki zadania spełniają liczby 11, 22, 33, …, 99
Odpowiedź: Pierwsza liczba to 65 a druga 56 lub obie są równe i wynoszą 11 lub 22 lub 33 lub …
lub 99
Zadanie 5
Na trapezie równoramiennym ABCD o podstawach IABI = 20 cm i ICDI = 12 cm opisany jest okrąg.
Środek okręgu leży na dłuższej podstawie. Oblicz obwód trójkąta ABC.
Rozwiązanie:
Trójkąty ABC jest prostokątny (kąt wpisany oparty na
średnicy) oraz trójkąty ESD i AED są prostokatne (AE
wysokość trapezu)
r = IASI = IDSI = 10,
IAEI = (20 – 12) : 2 = 4,
IESI = 10 – 4 = 6
na podstawie tw. Pitagorasa
IEDI2 + 62 = 102, skąd IEDI= 8
42+ 82 = IADI2, skąd AD  CB  4 5
IACI2 +( 4 5 )2 = 202, skąd AC  8 5
OABC = 20 + 12 5
Odpowiedź: Obwód trójkąta ABC wynosi 20  12 5 .
Zadanie 6
Wykaż, że
1
1
1
1


 ... 
 44
1
2
3
2013
Rozwiązanie:
1  2013 , 2  2013 ,..., 2012  2013
1
1
1
1
1
1

,

,...,

1
2013 2
2013
2012
2013
1
1
1
1
1


 ... 
 2013 
 2013  44
1
2
3
2013
2013
co należało pokazać.