Slajd 1

Pojęcie wielomianu,
działania na wielomianach
I. Jednomian to funkcja postaci: y=axn
określona na zbiorze liczb rzeczywistych.
Liczbę a (a≠0) nazywamy współczynnikiem
jednomianu, n nazywamy stopniem
jednomianu.
PRZYKŁADY JEDNOMIANÓW:
f(x)=4x
g(x)=7x3
f(x)=-2x8
p(x)=3x2
h(x)=-9
g(x)=-5x
II.Wielomian to funkcja postaci:
w(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0 określona na
zbiorze liczb rzeczywistych. Liczby an,
an-1,….a1,a0 nazywamy współczynnikami
wielomianu, a0 jest wyrazem wolnym,
n stopniem wielomianu.
PRZYKŁADY WIELOMIANÓW:
f(x)=3x7-5x4+7x2-1
g(x)=-4x3-x+2
f(x)=-6x8-x6-2x2+8
p(x)=2x3+x2+3x-4
w(x)≡0 – wielomian zerowy
Przykład1. Napisz wzór wielomianu w o podanych
współczynnikach i określ jego stopień:
a)
a0=3 a1=7 a3=-5
w(x)=-5x3+7x+3
w jest wielomianem stopnia 3
b)
a1=-1/2 a4=-4 a5=1
w(x)=x5-4x4-(1/2)x
w jest wielomianem stopnia 5
c)
a0=-7 a1=2 a4=9 a7=-1
w(x)=-x7+9x4+2x-7
w jest wielomianem stopnia 7
III. Działania na wielomianach
W gimnazjum były omawiane i ćwiczone działania
dodawania, odejmowania i mnożenia wyrażeń
algebraicznych. Poznane zasady stosujemy teraz
do wykonania różnych działań na wielomianach
jednej zmiennej.
Przykład2. Mając dane wielomiany u(x)=-x3+x2-6x+8
oraz w(x)=4x3+6x-7 wykonaj działania:
a)
u(x)+w(x)=-x3+x2-6x+8+4x3+6x-7=3x3+x2+1
b)
2u(x)+4w(x)=2(-x3+x2-6x+8)+4(4x3+6x-7)=
=-2x3+2x2-12x+16+16x3+24x-28=
=14x3+2x2+12x-12
c)
w(x)-u(x)=4x3+6x-7-(-x3+x2-6x+8)=
=4x3+6x-7+x3-x2+6x-8=
=5x3-x2+12x-15
d)
2u(x)-w(x)=2(-x3+x2-6x+8)-(4x3+6x-7)=
=-2x3+2x2-12x+16-4x3-6x+7=
=-6x3+2x2-18x+23
Przykład3: Oblicz wartość wielomianu w(x)=x3-3x2+5x+1
dla podanego x.
a)
dla x=-2
w(-2)=(-2)3-3·(-2)2+5·(-2)+1
w(-2)=-8-12-10+1=-19
b) dla x=-1
w(-1)=(-1)3-3· (-1)2+5·(-1)+1
w(-1)=-1-3-5+1=-7
c) dla x=0
w(0)=03-3·02+5·0+1
w(0)=1
Przykład 4: Wyznacz współczynnik a jeżeli:
a)
b)
w(x)=x3-ax2+6x-4
w(2)=4
w(2)=23-a·22+6·2-4
w(2)=8-4a+12-4
w(2)=16-4a
4=12-4a
4a=12
a=3
w(x)=ax3-2x2+3x-1
w(-1)=-8
w(-1)=a·(-1)3-2·(-1)2+3·(-1)-1
w(-1)=-a-2-3-1
w(-1)=-a-6
-8=-a-6
a=-6+8
a=2