STATYSTYKA MATEMATYCZNA Lista 6 1. Niech X będzie zmienną

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Lista 6
1. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie B(n, p). Pokazać, że statystyka
p̂ = X/n
jest nieobciążonym estymatorem parametru p.
2. Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ), gdzie λ > 0 jest
nieznanym parametrem. Pokazać, że następujące statystyki
1 ∑
λ̂2 =
(Xi − X)2
n − 1 i=1
n
λ̂1 = X,
(1)
są nieobciążonymi estymatorami parametru λ. Który z nich jest lepszy?
Przyjmując, że liczby skaz na rolkach tapet wyprodukowanych w pewnej firmie mają
rozkład Poissona o nieznanym parametrze λ, na podstawie następujących danych:
6, 4, 8, 0, 2, 2, 2, 6, 2, 2, oszacować średnią liczbę skaz na rolce, korzystąjąc z estymatorów określonych wzorem (1).
3. Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(λ), gdzie λ > 0
jest nieznanym parametrem. Czy statystyki określone wzorem (1) są niobciążonymi
estymatorami parametru λ? Który z nich jest lepszy?
Przyjmując, że “czas życia” baterii określonej marki ma rozkład wykładniczy o nieznanym parametrze λ, na podstawie następujących danych: 5.1, 3.7, 21.5, 3.9, 13.5,
6.3, 2, 3.5, 3.4, 10.1, oszacować średni czas życia baterii, korzystąjąc z estymatorów
określonych wzorem (1).
4. Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), gdzie µ i σ 2
są nieznanymi parametrami. Sprawdzić, czy następujące statystyki
1∑
σ̂ =
(Xi − X)2
n i=1
n
µ̂ = X
2
są nieobciążonymi estymatorami parametrów odpowiednio µ i σ 2 .
Alicja Jokiel-Rokita
2 grudnia 2016