Drzewa — podstawowe poj ecia

Drzewa — podstawowe pojecia
,
• drzewo — graf reprezentujacy
regularna, strukture, wskaźnikowa,, gdzie
,
każdy element zawiera dwa lub wiecej
wskaźników (ponumerowanych)
,
do takich samych elementów; wezÃ
, ly (albo wierzchoÃlki) grafu
reprezentuja, elementy pamieciowe,
a Ãluki reprezentuja, wskaźniki
,
• drzewo binarne — każdy element zawiera dokÃladnie dwa wskaźniki
• korzeń — element drzewa, od którego zaczynaja, sie, wskaźniki do
pozostaÃlych elementów
• liście — elementy drzewa, których oba wskaźniki sa, puste (NIL)
• wewnetrzne
wezÃ
,
, ly drzewa — wezÃ
, ly, które nie sa, ani liściami ani
korzeniem
• ścieżka — ciag
zgodnie ze wskaźnikami od korzenia
, wezÃ
,
, lów biegnacy
do jakiegoś liścia
• poddrzewo — drzewo, które jest caÃlkowicie zawarte w innym drzewie
• rzad
drzewa
, drzewa — liczba wskaźników (≥ 2) w jednym weźle
,
(niektóre z nich sa, NIL)
• wysokość — dÃlugość najdÃluższej ścieżki drzewa
dlogk (N + 1)e ≤ hk (N ) ≤ N
• waga — caÃlkowita liczba wezÃ
, lów w drzewie
Drzewa binarne
1
Struktury drzewiaste
• grafy skierowane
• zbiory zagnieżdżone
º·
A
´¹¸
Q
´
Q
´
Q
´
QQ
º·
+́
sº·
B
C
¹¸
¹¸
Z
¢ B Z
¤
Z
¢
¤
B
Z
¢
BBN
Z
¢®
¤²¤
~
Z
º·
º·
º· º·
D
E
F
G
¹¸ ¹¸ ¹¸ ¹¸
$
'
'
' $
$
¾»
E
¾»
½¼
¾»
¾»
G
F
½¼
D
½¼
½¼
B
C
&
&
%
& %
A
%
• tekstowe listy symboli
• typ danych drzew binarnych
(A,(B,(D),
(E),
(F)),
(),
(C,(G),
(),
()))
TYPE
T_Drzewo = ^T_Element;
(A (B (D)
(E)
(F))
()
(C (G)
()
()))
T_Element = RECORD
info: T_info;
lewe: T_Drzewo;
prawe: T_Drzewo;
END;
(A,(B,(D),(E),(F)),(),(C,(G),(),()))
(A,(B,(D),(E),(F)),(),(C,(G)))
Drzewa binarne
2
Dodawanie elementu do drzewa (1)
PROCEDURE DodajElement1(VAR drzewo: T_Drzewo;
element: T_Drzewo);
{ wersja minimalna }
BEGIN
element^.lewe := drzewo;
element^.prawe := NIL;
drzewo := element;
END; {DodajElement1}
zmienne statyczne
El:
BD:
pamieć
, dynamiczna
- info
u
lewe prawe
u NIL
³³
u
- info
lewe prawe
u
³³
³³
³
)³
info
lewe prawe
u
³
³³
)
Drzewa binarne
³³
³³
)
u
PP
P
q
u
PP
P
PP
q
P
info
lewe prawe
³u
³³
)
u
PP
P
q
3
diagram uproszczony tworzonego drzewa binarnego:
¾»
El: ½¼
©
©
©
©
¾»
©©
¼
©
BD: ½¼
©
HH
HH
©©
©
¾»
©©
¼
©
HH ¾»
H
j
½¼
©
HH
©
¼
©
H
j
½¼
©
HH
©
¼
©
j
H
⇒ procedura DodajElement1 tworzy drzewa zdegenerowane!
6l
¢®¢
l
5
¢®¢
l
4
¢®¢
l
3
¢®¢
l
2
¢®¢
l
1
Drzewa binarne
4
Dodawanie elementu do drzewa (2)
PROCEDURE DodajElement2(VAR drzewo: T_Drzewo;
element: T_Drzewo);
{ wersja ulepszona }
BEGIN
IF drzewo = NIL THEN drzewo := element
ELSE IF drzewo^.lewe = NIL THEN drzewo^.lewe = element
ELSE IF drzewo^.prawe = NIL THEN drzewo^.prawe = element
ELSE BEGIN
XXX
z m
element^.lewe := drzewo;
12
©
©
element^.prawe := NIL;
¼©
©
10m
©
HH
drzewo := element;
©©
HH
¼
©
j m
8m
11
END
©
H
©
H
HH
©
¼©
j m
END; {DodajElement2}
6m
9
©
H
©
H
HH
©
¼©
j m
m
4
7
©
HH
©
HH
¼©
©
j m
1m
5
©
H
©
H
HH
©
¼©
j m
2m
3
⇒ otrzymane drzewo nie jest wiele lepsze!
Drzewa binarne
5
Dodawanie elementu do drzewa (3)
PROCEDURE DodajElement3(VAR drzewo: T_Drzewo;
element: T_Drzewo);
{ wersja "optymalna" }
BEGIN
IF drzewo = NIL THEN drzewo := element
ELSE IF Waga(drzewo^.lewe) < Waga(drzewo^.prawe)
THEN DodajElement3(drzewo^.lewe, element)
ELSE DodajElement3(drzewo^.prawe, element);
END; {DodajElement3}
⇒ procedura tworzy drzewa zrównoważone
• Definicja: drzewo binarne nazywamy zrównoważonym
albo: w peÃlni zrównoważonym,
albo: dokÃladnie zrównoważonym,
albo: zrównoważonym wagowo,
jeżeli dla każdego wezÃ
, la liczby wezÃ
, lów w jego lewym i prawym poddrzewie
(czyli wagi tych poddrzew) różnia, sie, co najwyżej o 1
Drzewa binarne
6
Przeszukiwanie drzew binarnych
FUNCTION Wyszukaj(drzewo: T_Drzewo;
elem_wzorc: T_Element;
FUNCTION PorownajEl(e1,e2:T_Element):CHAR): T_Drzewo;
{znajd.na drz.el.rownowazny danemu;zwraca wsk.el.,lub NIL gdy go nie ma}
VAR test: T_Drzewo;
BEGIN
IF drzewo=NIL THEN Wyszukaj := NIL
ELSE
IF PorownajEl(elem_wzorc, drzewo^) = ’=’
THEN Wyszukaj := drzewo
ELSE
BEGIN
test := Wyszukaj(drzewo^.lewe, elem_wzorc, PorownajEl);
IF test <> NIL THEN Wyszukaj := test
ELSE Wyszukaj := Wyszukaj(drzewo^.prawe, elem_wzorc, PorownajEl);
END
END; {Wyszukaj}
Ćwiczenie: przepisać powyższa, funkcje, w wersji iteracyjnej!
Drzewa binarne
7
Przegladanie
drzew binarnych
,
PROCEDURE Przegladaj(Drzewo: T_Drzewo;
PROCEDURE Op(e:T_Element));
BEGIN
IF Drzewo<>NIL THEN
BEGIN
Op(Drzewo^);
(* porzadek "preorder" *)
Przegladaj(Drzewo^.lewe);
Przegladaj(Drzewo^.prawe);
END;
END; {Przegladaj}
• przydatne porzadki
przegladania
drzewa binarnego:
,
,
◦ preorder: najpierw korzeń, potem caÃle lewe poddrzewo, potem prawe
◦ inorder: najpierw lewe poddrzewo, nastepnie
korzeń, na końcu prawe
,
◦ postorder: najpierw lewe poddrzewo, potem prawe, na końcu korzeń
Drzewa binarne
8
Drzewa uporzadkowane
,
• Definicja: drzewo binarne jest uporzadkowane
gdy dla wszystkich wezÃ
,
, lów
drzewa speÃlniona jest wÃlasność
wszystkie elementy
w lewym poddrzewie
< korzeń <
wszystkie elementy
w prawym poddrzewie
• zyskujemy na przeszukiwaniu:
FUNCTION Wyszukaj(drzewo: T_Drzewo;
elem_wzorc: T_Element;
FUNCTION PorownajEl(e1,e2:T_Element):CHAR): T_Drzewo;
BEGIN
IF drzewo=NIL THEN Wyszukaj := NIL
ELSE CASE PorownajEl(elem_wzorc, drzewo^) OF
’<’: Wyszukaj := Wyszukaj(drzewo^.lewe, elem_wzorc, PorownajEl);
’=’: Wyszukaj := drzewo;
’>’: Wyszukaj := Wyszukaj(drzewo^.prawe, elem_wzorc, PorownajEl);
END; {CASE}
END; {Wyszukaj}
• wysokość drzewa binarnego o N wezÃ
, lach: dlog2 (N + 1)e ≤ hN ≤ N
Drzewa binarne
9
Dodawanie elementu do drzewa (4)
jest bardzo podobne do wyszukiwania:
• dodawanie uporzadkowane
,
praktycznie znajdujemy miejsce gdzie element powinien w drzewie sie,
znaleźć, po czym go tam wklejamy
PROCEDURE DodajElement4(VAR drzewo: T_Drzewo;
element: T_Drzewo;
FUNCTION PorownajEl(e1,e2:T_Element):CHAR);
BEGIN
IF drzewo=NIL
THEN
drzewo := Element
ELSE
CASE PorownajEl(element^, drzewo^) OF
’<’: DodajElement4(drzewo^.lewe, element, PorownajEl);
’=’: WRITELN(’Element juz jest na drzewie!’);
’>’: DodajElement4(drzewo^.prawe, element, PorownajEl);
END;
END; {DodajElement4}
Drzewa binarne
10
Budowa drzew uporzadkowanych
,
• Od czego zależy wysokość drzewa utworzonego procedura,
uporzadkowanego
dodawania elementów?
,
Rozważmy przypadki skrajne:
◦ ciag
, elementów: A B C D E F ... X Y Z
⇒ wysokość drzewa bedzie
26 (= N )
,
◦ ciag
, elementów: M F T C I P W ... A L N Z
⇒ wysokość drzewa bedzie
5 (≈ log2(N ))
,
• ZÃla wiadomość: wysokość tak tworzonych drzew uporzadkowanych
może
,
wahać sie, od log2(N ) do N
• Dobra wiadomość: średnia oczekiwana wysokość drzewa tworzonego z
przypadkowej sekwencji N elementów ≈ 1.4 × log2(N )
Drzewa binarne
11
Drzewa binarne
12
Usuwanie elementu z drzewa
PROCEDURE UsunElement(VAR drzewo: T_Drzewo;
element: T_Drzewo);
FUNCTION PorownajEl(e1,e2:T_Element):CHAR);
{ wylacza z drzewa podany element }
BEGIN
IF drzewo=NIL THEN WRITELN(’Nie ma takiego elementu’) ELSE
CASE PorownajEl(element^, drzewo^) OF
’<’: UsunElement(drzewo^.lewe, element, PorownajEl);
’>’: UsunElement(drzewo^.prawe, element, PorownajEl);
’=’: IF drzewo^.lewe=NIL THEN drzewo := drzewo^.prawe ELSE
IF drzewo^.prawe=NIL THEN drzewo := drzewo^.lewe ELSE
BEGIN
DodajElement4(drzewo^.lewe, drzewo^.prawe, Porownaj);
drzewo := drzewo^.lewe;
QQ
END;
s²¯
QQ
s
E
±°
­J
END; {CASE}
¡ @
­DLJ
­
J
¡
@
¡
ª
@
R
­J
END; {UsunElement}
­J
­J
­D J
­D J
­ LJ
­D J
­ PJ
­
PJ
⇒ niestety, metoda pogarsza zrównoważenie
Drzewa binarne
13
Usuwanie elementu z drzewa (2)
Q ¶³
Q
s
Q
E
• ciekawy pomysÃl: aby usunać
, z drzewa element
E, przenosimy na jego miejsce maksymalny
element jego lewego poddrzewa (albo minimalny
element poddrzewa prawego); w ten sposób
sprowadzamy usuwanie wezÃ
, la do usuwania liścia
µ´
¡ @
¡ ¥º OD @
¡
@
¥ D
¡
@
ª
¡
@
R
D
¥
¢A
¢A
D
¥
¢ A
¢ A
¥
D
A
A
¢
¢
D ¢
A ¥
A
¢
A ¥
¢
D ¢
L A
P AA
¢
¢Dh
¥
h
A
A
¢
¢
D
D
MAXD
L
MIND
P
⇒ niestety, tej metody nie zawsze można użyć, bo nie zawsze MAXDL
(albo MINDP ) bedzie
liściem w drzewie
,
Q ¶³
Q
s
Q
E
µ´
¡ 6@
@
¡
@
¡
• uzupeÃlnienie pomysÃlu: jeśli MAXDL nie jest
liściem to po przeniesieniu go na miejsce wezÃ
, la E
usuwamy go z kolei wywoÃlaniem rekurencyjnym
Drzewa binarne
¢
¢
¢
@
@
R
¢A
¢ A
¢
A
D
DP
¢
¡
ª
¡
¢A
¢ A
¢
A
AhMAXD
%
L ¢¢
A
L A
¢
A
¢
A
A
A
A
14
Zastosowanie drzew uporzadkowanych
,
Podsumujmy: rozważamy struktury danych do przechowywania elementów
np. jakiejś bazy danych. Dynamiczna, struktura, danych — odpowiednikiem
statycznej tablicy nieuporzadkowanej
— jest lista wskaźnikowa. Pomimo iż
,
tablica, w odróżnieniu od listy, zapewnia bezpośredni dostep
, do wszystkich
elementów, bez sekwencyjnego przeszukiwania, to bez uporzadkowania
,
elementów każde przeszukiwanie i tak musi być sekwencyjne.
W takim razie dynamicznym odpowiednikiem tablic uporzadkowanych
sa,
,
drzewa uporzadkowane.
W jednych i drugich możliwe jest niesekwencyjne
,
wyszukanie konkretnego elementu. Jednak w przypadku drzew
uporzadkowanych
liczba (albo czas) operacji niezbednych
do dotarcia do
,
,
elementu zależy od zrównoważenia drzewa, nad którym nie umiemy
zapanować (na razie).
Jednak zagadnienie równoważenia drzew uporzadkowanych
jest trudne —
,
nie jest znana praktyczna metoda tworzenia drzew uporzadkowanych
i
,
jednocześnie w peÃlni zrównoważonych. Podobnie nie istnieje żadna
efektywna metoda równoważenia już zbudowanego drzewa. Jak sie, okaże,
najlepszym rozwiazaniem
sa, drzewa cześciowo
zrównoważone.
,
,
Drzewa binarne
15
Zagadnienie równoważenia drzew
z
• rozważmy dodanie pojedynczego wezÃ
,
, la do drzewa uporzadkowanego
zachowaniem równowagi
¶³
¶³
µ´
©© HHH
©
¶³
¼
©
j¶³
H
µ´
©© HHH
©
¶³
¼
©
j¶³
H
I
E
µ´
¡ @
¶³
¶³
¡
ª
@
R
C
G
M
µ´
¡ @
¶³
¶³
ª
¡
@
R
K
O
H
D
L
µ´
¡ @
¶³
¶³
¡
ª
@
R
B
µ´
¡ @
¶³
¶³
ª
¡
@
R
F
J
N
µ´ µ´ µ´ µ´
£ B
£ B
£ B
£
¶³
¶³
¶³
¶³
£° ¶³
BN
£° ¶³
BN
£° ¶³
BN
£°
µ´ µ´ µ´ µ´
£ B
£ B
£ B
£ B
¶³
¶³
¶³
¶³
£° ¶³
BN
£° ¶³
BN
£° ¶³
BN
£° ¶³
BN
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
µ´
B D F H J
L N
A C E G
I
K M O
⇒ struktura drzewa ulegÃla caÃlkowitej zmianie, żaden wezeÃ
, l nie pozostaÃl na
swoim miejscu
Drzewa binarne
16
Inne zastosowania — drzewa wyrażeń
Drzewa binarne sa, przydatne w wielu zastosowaniach, nie tylko do
przechowywania elementów jakiejś bazy danych. Jednym z nich sa, drzewa
wyrażeń reprezentujace
wyrażenia algebraiczne wyrażone w jakimś jezyku
,
,
zawierajacym
operatory i operandy. Takie drzewa byÃly użyte do
,
reprezentacji wyrażeń Pascala — dowolne wyrażenie można przedstawić za
pomoca, drzewa, którego liście reprezentuja, zmienne i staÃle, a wezÃ
, ly
wewnetrzne
operatory.
,
Drzewa binarne
17
Drzewa binarne
18