Liczby zespolone

Liczby zespolone
Prezentację wykonali uczniowie Zespołu Szkół Ponadgimnazjalnych w Szczucinie:
Sławomir Babiec
Tomasz Warzecha
Krystian Kapel
Marcin Grzesiak
autor i opiekun pracy:
mgr inż. Ryszard Chybicki
Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych
W Szczucinie
 Dwie liczby zespolone (a, b) i (c, d) są
sobie równe, gdy a= c i b= d
 Suma dwóch liczb zespolonych (a, b) i
(c, d) jest to liczba zespolona
określona w następujący sposób:
(a, b)  (c, d )  df (a  c, b  d )
 Iloczyn dwóch liczb zespolonych (a,
b) i (c, d) jest to liczba zespolona,
powstała w wyniku mnożenia
określonego w następujący sposób:
(a, b) * (c, d )  df (ac  bd , ad  bc)
Powyższe trzy właściwości stanowią
aksjomaty liczb zespolonych to znaczy
przyjmowane są bez dowodu
Właściwości liczb
zespolonych:
Równość liczb zespolonych jest:
 zwrotna - tzn. (a,b)=(a,b)
 symetryczna - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) to (c, d)=(a,b)
 przechodnia - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) i (c, d)=(e, f)
to (a, b)=(e, f)
Dodawanie liczb zespolonych jest:
 przemienne - tzn:
(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)
 łączne - tzn:
[(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)]
Mnożenie liczb zespolonych jest:
 przemienne - tzn.:
(a, b)(c, d) = (c, d)(a, b)
 łączne - tzn.:
[(a, b)(c, d)](e, f) = (a, b)[(c, d)(e, f)]
 rozdzielne względem dodawania - tzn.:
[(a, b) + (c, d)](e, f) = (a, b)(e, f) + (c, d)(e, f)
Różnica liczb zespolonych
Spróbujmy rozwiązać następujące równanie:
(c, d) + (x, y) = (a, b)
w którym liczba zespolona (x, y) jest niewiadomą:
mamy:
(c, d) + (x, y) = (c + z, d + y) = (a, b)
stąd:
c+z=a,d+y=b
czyli:
x=a-c,y=b-d
Rozwiązanie równania (liczbę (x, y))
oznaczamy (a, b) - (c, d) i nazywamy
różnicą liczb zespolonych
(a, b) - (c, d) = (a- c, b- d)
Odejmowanie jest wykonalne dla
wszystkich liczb zespolonych.
Zbiór liczb zespolonych zawiera
także liczbę zero.
Definiujemy ją jako rozwiązanie równania.
(a, b) + (x, y) = (a, b)
czyli zerem jest liczba (0, 0)
Iloraz liczb zespolonych
Spróbujmy rozwiązać następujące
równanie:
(c, d)(x, y) = (a, b)
w którym liczba zespolona (x, y) jest
niewiadomą.
Mamy:
(c, d)(x, y) = (cx - dy, cy + dx) = (a, b)
stąd;
cx – dy = a i cy + dy = b
Rozwiążmy układ tych dwóch równań z dwiema
niewiadomymi:
Obliczmy y z pierwszego równania i
podstawmy do drugiego:
ac  bd
cx  a
cx  a
c(
)  dx  b x  2
y
2
c d
d
d
wstawiając wyznaczony x otrzymamy
że:
bc  ad
y 2
2
c d
Zatem to jedyne rozwiązanie równania(czyli
liczbę zespoloną (x, y)) oznaczamy
( a, b)
( a, y ) 
( c, d )
nazywamy ilorazem liczb zespolonych:
( a, b)
ac  bd bc  ad
( 2
, 2
)
(c, d )  (0,0)
2
2
( c, d )
c d c d
Oczywiście dzielenie jest wykonalne dla
wszystkich liczb zespolonych oprócz
przypadku, gdy dzielnik jest zerem.
Liczbę (a, 0) utożsamiamy z liczbą
rzeczywistą a czyli:
(a,0)  df a
Jest to możliwe dlatego, że liczba (a, 0)
ma własności liczby rzeczywistej:
(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0)
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0)
Nie można tego zrobić z liczbami typu (0, a), (0, b)
bo np.:
(0, a)(0, b) = (- ab, 0)
i
(0, a) + (0, b) = (0, a + b)
zatem nie ma analogii w przypadku liczb typu
(0, a) i (b, 0)
Należy zwrócić uwagę na
następujące działanie:
(0, a) = (a, 0)(0, 1) = (0, 1)(a, 0)
oznaczmy (0,1)  df j
(0, a)  j (a,0)  df ja
zatem
oznaczamy j 2 :
j  (0,1)(0,1)  (1,0) df 1
2
Postać kanoniczna liczby
zespolonej.
Korzystając z poprzednich równań o liczbach
zespolonych spróbujmy zapisać liczbę (a, b) bez
nawiasów:
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b) =
a + (0, 1)(b, 0) = a + jb
czyli
(a, b) = a + jb
Postać a+jb nazywamy postacią
kanoniczną liczby zespolonej
(a,b)
A = re (a + jb) - część rzeczywista liczby zespolonej
B = im (a + jb) część urojona liczby zespolonej
 Liczbę zespoloną, której część urojona jest
zerem, nazywamy liczbą rzeczywistą.
 Liczbę zespoloną, której część rzeczywista
jest zerem, nazywamy liczbą urojoną.
Od tej pory liczby zespolone
będziemy oznaczać literą „z” z
indeksem:
z = x + jy
np.
z5  x5  jy5 itp.
Liczby zespolone podlegają
działaniom identycznym jak
liczby rzeczywiste np.:
 Jeżeli
z2  0 i z  0 to
z1 z1 z

z2 z2 z
 Jeżeli z2  0 to
z1
1
 z1
z2
z2
 Jeżeli z2 , z4  0 to
z1 z3 z1 z 4  z 2 z3
 
z2 z4
z2 z4
Liczba sprzężona
Każdej liczbie zespolonej z
można podporządkować liczbę z
nią sprzężoną z
Jeżeli z = re(z) + im(z)
to
z  re( z )  im ( z )
z powyższego wynika, że jeżeli
z1  z2 to
z2  z1
iloczyn
zz  ( x  jy)( x  jy)  x  y  0
2
2
Interpretacja geometryczna
liczby zespolonej.
Im( z )
y
r cos 
z  x2  y 2  r
r sin 

0
x
Re( z )
Modułem liczby zespolonej
z= x + jy
nazywamy nieujemną liczbę
rzeczywistą :
z  x y
2
2
Argumentem liczby zespolonej
z = x + jy
nazywamy miarę kąta, jaki tworzy wektor
z z osią Re(z) (rys.)
Istnieje nieskończenie wiele miar kątów, jakie tworzy wektor z
z osią x, różniących się wielokrotnością kąta 2p. Stąd też
istnieje nieskończenie wiele argumentów liczby zespolonej z.
Jednak ten kąt, którego miara zawiera się w przedziale
(-p,p>
nosi nazwę argumentu głównego liczby zespolonej
z i dla odróżnienia od pozostałych argumentów oznaczamy go
dużą literą:
Arg(z)
Korzystając z tych zależności
można zapisać trygonometryczną
postać liczby zespolonej:
z  x  jy  r cos   jr sin   r (cos   sin  )
Mnożenie liczb zespolonych
Niech będą dane
z1  r1 (cos  1  j sin  1 ) i z2  r2 (cos  2  j sin  2 )
obliczamy iloczyn :
z1z2  r1r2 (cos  1  j sin  1 )(cos  2  j sin  2 ) 
 r1r2[(cos  1 cos  2  sin  1 sin  2 )  j (sin  cos  2  sin  2 cos  1 )] 
 r1r2[cos( 1   2 )  j sin(  1   2 )]
Z powyższego wynika, że:
z1 z2  z1 z2
Arg
i z1z2   Argz1  Argz2
Bardzo prosto można wykazać, że
iloczyn skończonej liczby liczb
zespolonej wynosi:
n
Z
k 1
k
n
n
n
k 1
k 1
k 1
  Z k i Arg  Z k   Arg Z k 
Potęgowanie jest szczególnym
przypadkiem mnożenia, korzystając z
powyższego wzoru mamy:
z  z
n
n
i Argz  nArgz
n
czyli
[r (cos   j sin  ) ]  r (cos( n )  j sin( n ))
n
n
gdy r = 1 to
(cos   j sin  )  cos( n )  j sin( n )
n
Wzór Moivre’a
Łącząc ten wzór i dwumian Newtona mamy:
n
n
k
( nk )
( nk )
cos( n )  j sin( n )   ( ) cos j
sin

k 0 k
Dzielenie liczb zespolonych
1
z1 
z
Oznaczamy
z1 z  1
1  1  j 0 czyli Arg1  0
z1 z  z1 z  1
Arg ( z1z)  Argz1  Argz  0

1
1
z1  ( ) 
z
z
np :
i

Arg z1    Arg z 
1
1
 (cos   j sin  )
r (cos   j sin  ) r
Twierdzenie ogólne o dzieleniu
otrzymamy pisząc:
z1
1
 z1
z2
z2
W wyniku otrzymamy liczbę
zespoloną, której:
z1
z1
1
1
1
 z1
 z1
 z1

z2
z2
z2
z2
z2
z1
1
1
Arg ( )  Arg ( z1 )  Argz1  Arg  Argz1  Argz2
z2
z2
z2
np :
r1 (cos  1  j sin  1 ) r1
 [cos( 1   2 )  j sin(  1   2 )]
r2 (cos  2  j sin  2 ) r2
Pierwiastek z liczby zespolonej
Niech:
R(cos   j sin  )  n r (cos   j sin  ) 
Znaczy to, że
 n r[cos(  2kp )  j sin(   2kp )
r (cos   j sin  )  [ R(cos   j sin  ]
n
Zgodnie z zasadami potęgowania
[ R(cos   j sin  )]  R [cos( n )  j sin( n )]
n
n
Zatem
r (cos   j sin  )  R [cos( n )  j sin( n )]
n
A stąd wynika że:
Rn r

2p
k  
k
n n
bo
sin   sin(   2kp )
cos   cos(  2kp )
Ponieważ:

2p
k  
k
n n
Więc gdy k=n to pierwiastki by się
powtarzały. Istnieje zatem „n”
różnych pierwiastków z liczby
n
r (cos   j sin  )
Ostatecznie
n
2p
 2p
r (cos   j sin  )  r [cos( 
k )  j sin( 
k )]
n n
n n
n

gdzie
k  0,1,...(n  1)
Koniec prezentacji