Algebra 2 , seria 8

Algebra 2∗ , seria 8
Zadania na 11 kwietnia: algebraiczne domknięcie, ciało rozkładu wielomianu.
1. Niech K będzie algebraicznym domknięciem ciała K. Pokazać, że każdy automorfizm
ciała K rozszerza się do automorfizmu ciała K.
2. Niech Q będzie algebraicznym domknięciem ciała liczb wymiernych. Wykazać, że ciało
Q ma nieskończenie wiele automorfizmów.
3. Pokazać, że grupa automorfizmów ciała liczb rzeczywistych jest trywialna. (Wskazówka:
zauważ najpierw, że jeśli x > 0 i h jest automorfizmem R, to h(x) > 0.)
4. Niech a, b ∈ R, Pokazać, że liczba a + bi ∈ C jest algebraiczna (nad Q) wtedy i tylko
wtedy, gdy a i b są algebraiczne. Porównać stopień tych liczb.
5. Niech K będzie ciałem charakterystyki 6= 2. Pokazać, że każde rozszerzenie K ⊂ L
stopnia 2 jest ciałem rozkładu wielomianu postaci x2 − a ∈ K[x], gdzie a ∈ K. Czy jest
to prawda również dla ciała charakterystyki 2?
6. Niech L będzie ciałem rozkładu wielomianu f ∈ K[x] gdzie deg(f ) = n. Pokazać, że
[L : K] ¬ n! . Czy stopień rozszerzenia [L : K] dzieli liczbę n! ?
7. Znaleźć stopień następujących elementów algebraicznych nad Q:
√
√
(a) 1√+ 2√+ 3,
(c) 4 5 + 5,
√
√
(b) 6√ 3 + 3,
(d) 2 + i.
8. Znaleźć stopień nad Q ciał rozkładu następujących wielomianów:
(a) x2 − 2,
(c) x4 − 2,
(b) x3 − 2,
(d) x4 + x2 + 1.