2. Empiryczne rozkłady prawdopodobieństwa

Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
2. Empiryczne rozkłady prawdopodobieństwa
Ćw. 2.1 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu o dystrybuancie F . Wyznacz
rozkład dystrybuanty empirycznej F̂n (x).
Ćw. 2.2 Wylosowano 10 liczb z rozkładu jednostajnego U (0, 1):
0, 88, 0, 39, 0, 76, 0, 13, 0, 29, 0, 14, 0, 45, 0, 63,
0, 84,
0, 38.
a) Na jednym rysunku wykonaj wykres dystrybuanty rozkładu U (0, 1) oraz dystrybuanty
empirycznej.
b) Znając rozkład dystrybuanty empirycznej (ćw. 2.1), oblicz prawdopodobieństwo, że
dystrybuanta empiryczna rozkładu U (0, 1) w punkcie x = 21 będzie miała wartość 0,2.
Ćw. 2.3 Próba prosta X1 , X2 , . . . , Xn pochodzi z rozkładu o dystrybuancie F . Udowodnij, że
dystrybuantą zmiennej losowej Xk:n jest
F̃ (x) =
n
X
i=k
!
n i
F (x)(1 − F (x))n−i .
i
Ćw. 2.4 Wyznacz statystyki pozycyjne dla danych z ćw.2.2.
Ćw. 2.5 Znając dystrybuantę k-tej statystyki pozycyjnej (ćw. 2.3.), oblicz prawdopodobieństwo,
że w rozkładzie U (0, 1) ósma statystyka pozycyjna (z dziesięciu) przyjmie wartość większą
niż 12 .
Ćw. 2.6 Niech Xk:n będzie k-tą statystyką pozycyjną z rozkładu standardowego jednostajnego
U (0, 1).
a) Podaj wzór na gęstość Xk:n .
b) Wyznacz wartość oczekiwaną Xk:n .
Ćw. 2.7 Oblicz średnią, wariancję, medianę i kwartyle z próby z ćwiczenia 2.2 i porównaj je
z odpowiednimi statystykami rozkładu U(0,1), wykonując wykres pudełkowy („skrzynka z
wąsami”).
Ćw. 2.8 Mając dany następujący szereg rozdzielczy punktowy:
xi
ni
0 1 2 3 4 5
17 27 26 16 8 5
6
1
wyznacz dystrybuantę empiryczną, oblicz średnią, wariancję i medianę z próby. Porównaj
rozkład empiryczny i obliczone statystyki z rozkładem (tabelka poniżej) oraz statystykami
rozkładu Poissona z parametrem 2.
xi
pi
0
1
2
3
4
5
6
0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120
Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
2. Empiryczne rozkłady prawdopodobieństwa
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 2.1 Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję dystrybuanty empirycznej F̂n (x).
Zad. 2.2 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą. Obliczyć wartość oczekiwaną wariancji z
próby:
n
1X
2
(Xi − X̄)2 .
Eŝ = E
n i=1
Zad. 2.3 Niech X1 , X2 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu absolutnie ciągłego o dystrybuancie F i
gęstości f . Wykaż, że gęstość k-tej statystyki pozycyjnej Xk:n wyraża się wzorem
!
n−1
fXk:n (x) = n
f (x)(F (x))k−1 (1 − F (x))n−k .
k−1
Zad. 2.4 Wskaż numer statystyki pozycyjnej, która jest p-tym kwantylem próbkowym. Która
statystyka pozycyjna jest najmniejszym, a która największym kwantylem w przypadku niejednoznacznosci?
Zad. 2.5 Z partii bawełny pobrano próbkę złożoną z 64 włókien, a następnie zmierzono długości
tych włókien (w mm). Otrzymano następujące wyniki:
23
23
21
23
8 15 35 21 20 10
17 13 33 29 27 24
25 31 29 23 15 32
19 16 18 24 31 28
4 28 12 9 7 24 25 31 26
22 32 16 9 29 22 20 8 16
22 23 19 24 15 21 20 29 27
21 8 17 24 13 12 18 23 25
Zbuduj szereg rozdzielczy oraz narysuj histogram, dobierając skalę na osi pionowej tak, aby
pole histogramu było równe 1.