Zestaw nr 2

Łukasz Czech
10 października 2016 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 2
Zadanie 1 Wykonać działania:
√
√
a) (3 − 3i) · (4i + 2),
2+3i
i−1 ,
b)
z−w
z+w , dla z = 4 − 3i, w = −1 + 2i.
c)
Zadanie 2 Znaleźć liczby rzeczywiste x i y spełniające równania:
a) x(2 + 3i) + y(5 − 2i) = −8 + 7i,
1+yi
x−2i
b)
= 3i − 1,
c)
x+yi
x−yi
=
9−2i
9+2i .
Zadanie 3 Wyznaczyć:
h
a) Im (3 − 2i)(2i + 3) − (2 − i)2
h
3
d) Re (2 − i) − 1 − i
Zadanie 4 Niech w =
których:
7
i
i
b) Re
−i+(−i+1)·(4−2i)
1−i
c)
2
e) |(−i + 2) + i · (3 + 4i)|
z+i
(2−i)·z .
3−2i
(−1+2i)2 (3+i)
f) Im
1−6i
(2−5i)2
Narysować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla
a) liczba w jest rzeczywista,
b) Re w > Im w,
c) liczba w jest czysto urojona,
d) Re w ¬ Im w.
Zadanie 5 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać układ równań:
a)



c)



(1 + i)z −
iw = i − 4
,
(−2i − 3)z + (2 + i)w = 11 + 9i
(2 − i)z − (3 − 4i)w = 1 + 12i
,
(−2i − 3)z + (−i + 4)w = 6 − 11i
b)



d)



iz + (1 + i)w = 2 + 2i
2iz + (3 + 2i)w = 5 + 3i
(3 + i)z + (1 + i)w = 5 + i
(i − 4)z − (2 + 3i)w = −4 − 3i
Zadanie 6 Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby:
√
a) z = i − 3,
b) z = −2i − 2,
c) z = − 2√1 3 + 12 i,
e) z =
2−2i
√ ,
2i
√
f) z = ( 3 − i) · 2i,
g) z =
√ 3√
,
( 3− 3i)2
d) z = ctg α + i,
h) z = sin α + i cos α,
gdzie α ∈ R.
Zadanie 7 Przedstawić w postaci wykładniczej liczby:
√
a) z = 5 − 5i,
b) z =
3−i
2+2i ,
√
c) z = (−1 − i 3)4 ,
d) z =
i 25
.
i−1