Matura 2016 PR III stereometria

Zadania powtórzeniowe
stereometria (poziom podstawowy)
1. (1pkt) Pole powierzchni sześcianu jest równe 24dm2. Długość przekątnej tego
sześcianu wynosi:
A. 2 2 dm
B. 2 3 dm
C. 4 2 dm
D. 4 3 dm
2. (1pkt) Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 2. Ściana
1
boczna ostrosłupa tworzy z podstawą kąt α, taki, że tg   . Pole podstawy
3
ostrosłupa jest równe:
16
A.
B. 72
C. 36
D. 144
9
3. (1pkt) Na wykonanie szkieletu modelu czworościanu foremnego zużyto w całości
kawałek drutu o długości 24 cm. Krawędź czworościanu ma długość:
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
4. (1pkt) Szklanka o średnicy podstawy 8 cm i wysokości 10 cm napełniona jest w 60%
wodą. Przyjmijmy, że  = 3. Objętość wody znajdującej się w szklance jest równa:
A. 480 cm3
B. 268 cm3 C. 144 cm3 D. 384 cm3
5. (1pkt) Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem o polu 4  .
Objętość tego walca jest równa
2
A. 2  2
B. 4  3
C. 8 
D. 8  3
6. (1pkt) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu 36 cm2. Pole powierzchni
bocznej walca jest zatem równe:
A. 54 cm2
B. 36 cm2 C. 72 cm2 D. 16 cm2
7. (1pkt) Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego boki
mają długość 6 i 8. Promień podstawy walca ma długość:
4
3
4
A. 3
B. 3 lub 4
C.
D. lub



8. (1pkt) Jeśli tworząca stożka tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30  , a średnica tej
podstawy ma długość 10 3 , to
A. P=25  (3 + 2 3 ) , V = 125 
B. P=25  (1 +
C. P=25  (3 + 2 3 ) , V = 375 
D. P=25  (1 +
3
), V = 375 
3
3
), V = 125 
3
9. (1pkt) Najdłuższy odcinek, który może być zawarty w pewnej kuli ma długość 12.
Objętość tej kuli jest równa:
A. 144 B. 2304
C. 288
D. 216
10. (1pkt) W sześcianie o wysokości 2 dm umieszczono kulę największą z możliwych.
Pole powierzchni tej kuli jest równe:
A.  dm2 B. 32 dm2 C. 16 dm2 D. 4 dm2
11. (1pkt) Z uszkodzonego balonu w kształcie kuli uchodzi powietrze. W wyniku
uszkodzenia kuli, jej promień zmniejszył się o połowę. Pole powierzchni balonu
zmniejszyło się zatem:
1
A. 8 razy B. 4 razy
C. 2 razy
D. razy
8
12. (2pkt) Oblicz miarę kąta między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych sześcianu
wychodzącymi z jednego wierzchołka.
13. (2pkt) Wyznacz objętość i pole całkowite sześcianu, którego przekątna ma długość 9
cm.
14. (2pkt) Krawędź sześcianu jest o 2 krótsza od przekątnej sześcianu. Oblicz długość
krawędzi tego sześcianu.
15. (2pkt) Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy,
będącej kwadratem o boku 2, pod kątem 45  . Oblicz objętość tego
prostopadłościanu.
16. (2pkt) Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma
długość równą 6cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt 60  . Oblicz pole powierzchni
bocznej tego graniastosłupa.
17. (2pkt) Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego jedna przekątna jest
dwa razy dłuższa od drugiej, a pole rombu wynosi 16. Oblicz długość krótszej
przekątnej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 2.
18. (2pkt) Tekturowe pudełko ma kształt graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.
Na podstawy pudełka zużyto 50 3 cm2 tektury, a na powierzchnię boczną 330 cm2.
Oblicz objętość tego pudełka.
19. (2pkt) Kielich ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym
wysokość jest równa 9 cm i tworzy z krawędzią boczną kąt o mierze 45o .
Oblicz ile soku zmieści się w tym kielichu.
20. (2pkt) Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt
nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60  . Oblicz wysokość
podstawy tego ostrosłupa.
21. (2pkt) Promień podstawy walca wynosi 2, a jego pole powierzchni całkowitej 20  .
Wyznacz długość wysokości tego walca.
22. (2pkt) Czy sok z dwóch butelek o pojemności 250ml zmieści się w szklance kształcie
walca o promieniu podstawy 4 cmi wysokości 10cm?
23. (2pkt) Półkole o średnicy 2 2 cm obracamy dookoła tej średnicy. Wykaż, że pole
powierzchni otrzymanej bryły wyraża się liczbą niewymierną.
24. (2pkt) Wyznacz pole powierzchni i objętość kuli wpisanej w sześcian o objętości 216
cm3.
25. (2pkt) Duży arbuz w kształcie kuli o promieniu r kosztuje 8 zł. Jaka powinna być
cena małego arbuza, mającego kształt kuli o promieniu 0,5r?
26. (2pkt) Stożek przecięto płaszczyzna równoległą do płaszczyzny podstawy i
przecinającą wysokość stożka w połowie. Jaki jest stosunek objętości powstałych po
rozcięciu brył?
27. (2pkt) Rozwinięcie powierzchni stożka jest półkolem o promieniu 10cm. Oblicz pole
podstawy tego stożka.
28. (2pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o wysokości 6. Oblicz
pole powierzchni całkowitej stożka.
29. (2pkt) Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60  , a średnica podstawy jest równa 4. Oblicz
pole powierzchni bocznej stożka.
30. (2pkt) Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 136  , a pole podstawy 64  .
Oblicz objętość stożka.
31. (3pkt) Przekątne przekroju osiowego walca o długości 20 cm przecinają się pod
kątem 1200. Oblicz pole powierzchni bocznej walca.
32. (4pkt) Długości krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami
naturalnymi. Długość przekątnej prostopadłościanu jest równa
a) objętość prostopadłościanu
b) pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
29 cm. Oblicz:
33. (4pkt) Oblicz pole papierowego wycinka koła, z którego wykonano torebkę w
kształcie stożka mającego wysokość czterokrotnie większą od promienia podstawy.
W torebce ma się zmieścić 500 cm3 cukru. Pomiń pole ewentualnych zakładek.
Przyjmij  = 3.
34. (4pkt) Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100cm2,
a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
35. (4pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wszystkie krawędzie
są równej długości. Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny
podstawy oraz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
36. (4pkt) Oblicz pole powierzchni czworościanu foremnego, którego wysokość jest
równa 5.
37. (4pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Objętość stożka wynosi
216  . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.
38. (4pkt) Naczynie w kształcie walca o średnicy podstawy równej 18cm i wysokości
16cm napełniono w trzech czwartych wodą. Następnie włożono sześcienną kostkę o
krawędzi długości 10cm. Sprawdź, czy woda wylała się z naczynia. W obliczeniach
przyjmij  =3,14.
39. (5pkt) Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, w którym stosunek długości boków
wynosi 3:4. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa maja jednakową długość, równą
długości dłuższego boku prostokąta będącego podstawą. Oblicz cosinus kąta
nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do jego podstawy.
40. (5pkt) Sinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do jego ściany bocznej jest
2
równy . Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego podstawą jest kwadrat o
3
boku 4.
41. (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między jego wysokością a
ścianą boczną ma miarę 45  . Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa,
jeżeli jego objętość jest równa 4,5.
Opracowanie: Barbara Selwa, Bożena Fejdasz