Przestrzenie Hilberta

Przestrzenie Hilberta
1. Udowodnić, że w nierówności Schwartza zachodzi równość wtedy i tylko wtedy gdy wektory x, y są liniowo niezależne.
2. Niech X będzie przestrzenią unitarną i niech x, y, z będą dowolnymi
elementami X. Pokazać, że równość
∥x − z∥ = ∥x − y∥ + ∥y − z∥
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje λ ∈ [0, 1] takie, że
y = λx + (1 − λ)z.
3. Pokazać, że w przestrzeni unitarnej X równość
∥x − y∥ = | ∥x∥ − ∥y∥ |
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 lub y = λx przy pewnym
λ ­ 0.
4. Udowodnić, że w dowolnej przestrzeni unitarnej zachodzi prawo równoległoboku
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ).
Pokazać, że w żadnej z przestrzeni c0 , c, C([0, 1]), lp (p ∈ [1, ∞] \ 2
równość ta nie musi zachodzić.
5. Udowodnić, że w dowolnej rzeczywistej przestrzeni unitarnej zachodzi
równość
)
1(
⟨x, y⟩ =
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 ,
4
a w przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych
⟨x, y⟩ =
) 1 (
)
1(
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 − i ∥ix + y∥2 − ∥ix − y∥2 .
4
4
1
6. (*) Pokazać, że jeżeli w przestrzeni unormowanej X dla dowolnych
x, y ∈ X zachodzi prawo równoległoboku, to w X można wprowadzić
iloczyn skalarny generujący normę z przestrzeni X.
7. Mówimy, że dwa wektory x, y przestrzeni Hilberta są ortogonalne (co
zapisujemy x⊥y) jeżeli ⟨x, y⟩ = 0. Udowodnić, że następujące warunki
są równoważne:
(i) x⊥y,
(ii) ∥x + λy∥ = ∥x − λy∥ dla dowolnej liczby λ,
(iii) ∥x + λy∥ ­ ∥x∥ dla dowolnej liczby λ.
8. Załóżmy, że {x1 , . . . xm } są parami ortogonalne. Pokazać, że dla dowolnego x ∈ X zachodzi równość:
2
∥x∥ =
m
∑
n=1
2
m
∑
|⟨x, xn ⟩| + x −
⟨xn , x⟩xn 2
n=1
9. Pokazać, że w przestrzeni Banacha X = C([0, 1]) zbiór
W = {x ∈ X :
∫
1
2
0
x(t)dt −
∫
1
1
2
x(t)dt = 1}
jest zbiorem wypukłym a dla każdego x0 ∈ W mamy
inf ∥x∥ < ∥x0 ∥ .
x∈W
10. Podać przykład zbioru wypukłego W w przestrzeni C([0, 1]) takiego,
że
inf ∥x∥ = ∥y∥
x∈W
dla nieskończenie wielu y ∈ W.
11. Udowodnić, że zbiór
{(x1 , . . . xk ) ∈ Ck :
k
∑
xn = 1}
n=1
jest zbiorem wypukłym i domkniętym w Ck . Znaleźć element tego
zbioru o najmniejszej normie.
2
12. Niech X będzie przestrzenią unitarną. Udowodnić, że
(a) A⊥ jest domkniętą podprzestrzenią X;
(b) A ⊂ B ⇒ B ⊥ ⊂ A⊥ ;
(c) (A ∪ B)⊥ = A⊥ ∩ B ⊥ ;
(d) A ⊂ A⊥⊥ dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X.
13. Pokazać, że jeżeli A jest dowolnym podzbiorem przestrzeni Hilberta
X, to A⊥⊥ jest najmniejszą domkniętą podprzestrzenią liniową X zawierającą A. W szczególności jeżeli E jest podprzestrzenią liniową X,
to
E = E ⊥⊥ .
W zadaniach 14 i 15 symbol dist oznacza odległość danego elementu
przestrzeni od podzbioru tej przestrzeni.
14. Niech X = L2 ([−π, π]). Obliczyć w tej przestrzeni dist(f, E). jeżeli
E = lin{1, sin t, cos t, sin 2t, cos 2t},
a f (t) = sign(t).
15. Niech X będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem na kwadracie [−π, π] × [−π, π]. Znaleźć w tej przestrzeni
dist(sin(x + y), E) jeżeli E = lin{sin x sin y, cos x cos y, sin x cos y}.
3