APP_10_Rekurencja

Rekurencja 1
Podprogram lub strukturę danych nazywamy
rekurencyjną, (recursive subprogram, recursive
data structure) jeżeli częściowo składa się z samej
siebie lub jej definicja odwołuje się do niej samej.
Przykłady definicji rekurencyjnych stosowanych w
matematyce
1. Definicja liczb naturalnych
2. Funkcja silnia
3. Ciąg liczb Fibonacci
4. Potęga naturalna liczby rzeczywistej
5. Wielomiany Legendre’a
Rekurencja 2
Rekurencja jest użyteczna, bo umożliwia
definiowanie nieskończonych zbiorów obiektów
przy pomocy skończonych wyrażeń.
Program rekurencyjny P można zapisać jako
złożenie F instrukcji podstawowych Si nie
zawierajęcych P i samego programu P.
P = F(Si;P)
Definicja Jeżeli podprogram P zawiera
bezpośrednio odwołanie do samego siebie, to P
nazywamy podprogramem bezpośrednio
rekurencyjnym (direct recursive subprogram).
Rekurencja 3
Definicja Jeżeli podprogram P zawiera odwołanie do
podprogramu Q, który zawiera bezpośrednie
odwołanie do P, to P nazywamy podprogramem
pośrednio rekurencyjnym (direct recursive
subprogram).
Definicja Wywołaniem rekurencyjnym podprogramu
(recursive call of the subprogram) nazywamy
wywołanie podprogramu, który zawiera wywołanie
samego siebie (pośrednie, lub bezpośrednie)
Podprogramy rekurencyjne umożliwiają wykonywanie
nieskończonego procesu obliczeniowego i dlatego
powstaje:
Rekurencja 4
Problem Zakończenie nieskończonego procesu
obliczeniowego w skończonym czasie.
Rozwiązanie. Wywołanie podprogramu P uzależnione
jest od warunku W, który w pewnym momencie
przestaje być prawdziwy, co kończy proces
obliczeniowy.
Zapisujemy to następująco:
P = if W then F(Si;P),
albo równoważnie:
P = F(Si; if W then P).
Rekurencja 5
Prostą i skuteczną metodą zatrzymania procesu rekurencyjnego
jest zastosowanie w podprogramie P parametru wejściowego n
i wywołanie podprogramu z wartością
n-1. Jeżeli W = n > 1, to następujące schematy gwarantują
wykonanie podprogramu w skończonej liczbie kroków:
P(n) = if n > 1 then F(Si;P(n-1)),
P(n) = F(Si; if n > 1 then P(n-1)).
Algorytmy rekurencyjne, a co za tym idzie podprogramy
rekurencyjne stosuje się wtedy, gdy rozwiązywany problem, lub
przetwarzane dane definiujemy rekurencyjnie.
Nie zawsze algorytm rekurencyjny jest najefektywniejszym
rozwiązaniem problemu.
Przykład PP_028_Potega
Rekurencja 6
WartoϾ obliczona = 8.0
Potega_Rek (2.0, 3)
Potega_Rek
X = 2.0, N = 3
Potega_Rek (2.0, 2)
WartoϾ obliczona = 4.0
Potega_Rek
X = 2.0, N = 2
Potega_Rek (2.0, 1)
WartoϾ obliczona = 2.0
Potega_Rek
X = 2.0, N = 1
Rekurencja 7
Definicja Wariantem podstawowym, albo bazowym
(base case) algorytmu nazywamy wariant, którego
rozwiązanie może być wyznaczone bez rekurencji.
Definicja Wariantem ogólnym (general case) algorytmu
nazywamy wariant, którego rozwiązanie jest
wyrażone w postaci prostszej wersji tego samego
wariantu.
Definicja Algorytmem rekurencyjnym (recursive
algorithm) nazywamy algorytm wyznaczający
rozwiązanie problemu obliczeniowego wg wariantu
ogólnego i wariantu podstawowego (bazowego)
Rekurencja 8
Pisanie programów rekurencyjnych wymaga:
• Zrozumienia istoty rozwiązywanego problemu
• Zdefiniowania wariantów bazowych
• Zdefiniowania wariantów ogólnych
Przykład
PP_029_Permutacje_Rekurencyjnie
Rekurencja 9
Przykład PP_030_Wieze_Hanoi
1
2
3
Rekurencja 10
Wyszukiwanie. Wyszukiwanie liniowe.
Dane wejściowe: Lista - tablica A(1..n) elementów i
element v.
Dane wyjściowe: Indeks i taki, że v = A(i), lub
informacja, że v nie jest elementem listy.
Przykład
PP_031_Iterative_Version_Of_Sequential_Search
Przykład
PP_032_Recursive_Version_Of_Sequential_Search
Rekurencja 11
Możliwe jest przypadkowe wprowadzenie rekurencji w
sytuacji, gdy nazwa podprogramu jest użyta jako
identyfikator zmiennej w podprogramie.
Zmienna := Nazwa_Podprogramu;
Jeżeli podprogram ma parametry, to kompilator wykryje
błąd.
Jeżeli podprogram nie ma parametrów, to może
powstać nieskończona rekurencja (infinite recursion)
odpowiadająca pętli nieskończonej.
W takim przypadku wystąpi STORAGE_ERROR.