Materiały dla uczniów

Materiały dla uczniów
KONGRUENCJE LICZBOWE
Propozycja zajęć koła matematycznego
Def. Liczba całkowita a przystaje do liczby całkowitej b według modułu m
(gdzie m jest liczbą naturalną większą od 1), jeżeli różnica a-b jest podzielna
przez m. Piszemy tedy (za Gaussem) a  b (mod m) i czy. „a przystaje do
b modulo m”.
Relację tą nazywamy kongruencją. Liczba m nazywa się modułem kongruencji.
Niech a, b będą liczbami całkowitymi.
Zapis a|b oznacza, że istnieje taka liczba całkowita k, że b = ka.
Zatem a  b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy m|a-b.
Podstawowe własności kongruencji:
1. a  a (mod m)
(zwrotność)
2. jeżeli a  b (mod m), to b  a (mod m)
(symetria)
3. jeżeli a  b (mod m) i b  c (mod m), to a  c (mod m)
(przechodność)
4. jeżeli a  b (mod m) i c  C, to
 a + c  b + c (mod m)
 a - c  b - c (mod m)
 a  c  b  c (mod m)
5. jeżeli a  b (mod m) i c  d (mod m), to
 a + c  b + d (mod m)
 a - c  b - d (mod m)
 a  c  b  d (mod m)
6. jeżeli a  b (mod m), to an  bn (mod m), n N+
7. jeżeli a  b (mod m) i d jest naturalnym wspólnym dzielnikiem liczb a, b i
m, to
a b
m
  mod  .
d d
d
8. jeżeli a  b (mod m) i d|m, d  N+, to a  b (mod d).
Nie można dzielić stronami kongruencji, ani też dzielić obu stron kongruencji
przez ten sam wspólny dzielnik.
Kongruencje liczbowe pozwalają rozwiązać wiele zadań z teorii podzielności
w zbiorze liczb całkowitych.
Przykłady:
1. Wykazać, że liczba 255 + 1 jest podzielna przez 11. Mamy wykazać, że
11|255 + 1, czyli, że 255  -1 (mod 11).
Ponieważ
25  -1 (mod 11)
(25)11  (-1)11 (mod 11)
255  -1 (mod 11).
2. Wykazać, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba 2n+2+32n+1
jest podzielna przez 7.
Ponieważ 32  2 (mod 7), to
32n  2n (mod 7)
oraz 3  -22 (mod 7)
Mnożymy stronami 1) i 2)
32n+1 + 2n+2  0 (mod 7)
32n . 3  2n . (-22) (mod 7)
więc
32n+1  -2n+2 (mod 7)
7|32n+1+2n+2.
(1)
(2)
3. Wykazać, że dla k, l, m  N+ suma 35k + 45l+2 + 55m+1 dzieli się przez 11.
Mamy:
35  1 (mod 11)
45  1 (mod 11)
35k  1 (mod 11)(*) 45l  1 (mod 11)
45l+2  42 (mod 11)
55  1 (mod 11)
55m  1 (mod 11)
55m+1  5 (mod 11) (***)
 42  5 (mod 11)
więc 45l+2  5 (mod 11) (**)
Dodając stronami kongruencje (*), (**), (***) mamy:
35k + 45l+2 + 55m+1  11 (mod 11)
35k + 45l+2 + 55m+1  0 (mod 11) czyli
11|35k + 45l+2 + 55m+1.
4. Wykazać, że liczba 22225555 + 55552222 dzieli się przez 7.
Zauważamy, że
oraz 22226  36 (mod 7)  36  1 (mod 7)
2222  3 (mod 7)
2222 5  35 (mod 7) (1) 22226  1 (mod 7)
2222 5550  1(mod 7)
(2)
Mnożymy stronami (1) i (2)
2222 5555  35  5(mod 7)(*)
Podobnie
5555  4 (mod 7)
oraz
5555 2  4 2  2(mod 7) (3)
55556  46  23  1 (mod 7)
5555 2220  1(mod 7) (4)
Mnożymy stronami (3) i (4)
55552222  2 (mod 7) (**)
Dodajemy stronami (*) i (**)
22225555 + 55552222  7 (mod 7)  7  0 (mod 7)
więc
22225555 + 55552222  0 (mod 7)
czyli
7|22225555 + 55552222.
5. Wyznaczyć ostatnią cyfrę liczby 299.
Należy znaleźć liczbę jednocyfrową, a dla której zachodzi
299  a (mod 10).
Zauważamy, że
29  2 (mod 10)
299  211 (mod 10) oraz 211  8 (mod 10)
więc
299  8 (mod 10)
Ostatnią cyfrą jest 8.
6. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby 9999 – 5151.
Należy znaleźć liczbę dwucyfrową a, dla której
9999-5151  a (mod 100).
Zauważamy, że
99  -1 (mod 100)
9999  -1 (mod 100)
9999  99 (mod 100) (1),
oraz
512  1 (mod 100)
5150  1 (mod 100)
5151  51(mod100) (2)
Odejmujemy kongruencje (1) i (2) stronami
9999-5151  99-51 (mod 100)
9999-5151  48 (mod 100)
Dwie ostatnie cyfry liczby 9999-5151 to 4 i 8.
7. Wykazać, że dla naturalnych n>1 liczby postaci 9 . 2 2 + 1 są złożone.
n
Zauważymy, że
22  -1 (mod 5)
oraz 9  -1 (mod 5) (2)
2 22  1 (mod 5)
2 222  1 (mod 5)
.
.
.
2
2  1 (mod 5) (1)
n
Mnożymy stronami (1) i (2)
9 . 2 2  -1 (mod 5)
n
9 . 2 2 +1  0 (mod 5), (*)
n
n
Dla naturalnych n>1 zachodzi 9 . 2 2 +1>5 (**).
Zatem z (*) i (**) mamy
n
5|9 . 2 2 + 1.
Zadania dodatkowe:
1. Wykazać, że liczba 5353 – 3333 jest podzielna przez 10.
2. Wykazać, że liczba 3 6 26 (n  N  ) jest podzielna przez 35.
n
n
3. Wykazać, że liczba 53103 + 10353 jest podzielna przez 78.
4. Wykazać, że liczba 2 4 5 (n N  ) jest podzielna przez 21.
n
5. Wyznaczyć ostatnią cyfrę liczby 21000.
6. Wykazać, że dla liczb naturalnych n>1 liczby postaci 4 . 2 2 1 są złożone.
n